Olimpiadas Matemáticas en el Perú
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 Problema 1

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AutorMensaje
johncuya
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Mensajes : 321
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Edad : 30

MensajeTema: Problema 1   Miér Oct 26, 2011 10:30 pm

En el concurso La Casa de la Suerte, un concursante entra con 100 nuevos soles a una casa de 10 pisos. En cada piso hay tres cofres cerrados, los cuales contienen alguno de los siguientes mensajes:
"Ganas 9 nuevos soles", "Pierdes 7 nuevos soles", "Pierdes 3 nuevos soles".
El cofre ganador, tiene dentro la cantidad que se menciona en el mensaje (9 nuevos soles), mientras que en los cofres perdedores se debe dejar la cantidad indicada. El concurso consiste en que el participante debe elegir sólo un cofre por piso y abrirlo, obedecer las instrucciones respectivas y finalmente salir de la casa con el dinero restante. Jimena concursó en La Casa de la Suerte y salió con 122 nuevos soles. ¿Cuántos cofres ganadores abrió Jimena?
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Mensajes : 3
Fecha de inscripción : 08/12/2011
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MensajeTema: Re: Problema 1   Sáb Dic 10, 2011 12:54 pm

Jimena ingresa con 100 y sale con 122, por lo que durante las 10 habitaciones gana 22. Entonces hacemos que sea G la cantidad de mensajes que gana, P donde pierde 7 y Z donde pierde 3. En un sistema de ecuaciones se tendria que :
i) G+P+Z=10 y ii) 9G-7P-3Z=22
De ii) se obtendria 9G-4P-3(P+Z)=22, pero P+Z=10-G, por lo tanto quedaria 12G-4P=52.....(iii)
Reduciendo en iii) 3G=P+13, se observa que P+13 es multiplo de 3, por lo que P=2,5,8 ya que P es menor que 10 verificando facilmente el unico que cumple es cuando P=2, ya que si P=5, G=6 pero entonces P+G=11, lo que contradice, analogamente para el otro caso.
Finalmente si P=2, entonces G=5 y Z=3. Por lo tanto Jimena abrió 5 cofres ganadores.
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alinserjhalin



Mensajes : 14
Fecha de inscripción : 21/12/2011

MensajeTema: Re: Problema 1   Dom Ene 22, 2012 5:02 pm

jimena ingresa con 100 y se retira con 122: lo cual deducimos que en el recorrido de los 10 pisos gano 22

a= veces que gano 9
b= veces que perdio 7
c= veces que perdio 3

9a-7b-3c= 22 y como son 10 pisos: a+b+c=10 c =10-a-b a+b+c+3=13

9a-7b-3c= 22
a+b+c=10 sumamos las dos ecuaciones:
10a-6b-2c=32 sacamos mitad: 5a-3b-c=16 reemplzamos el valor de (c) : 5a-3b-(10-a-b)=16

5a-3b-10+a+b=16 6a-2b=26 3a-b =13 en esta ecuacion reemplazmos la equivalencia de 13

3a-b=a+b+c+3 2a-2b=c+3 2(a-b) = c+3 de esta ecuacion podemos deducir que c+3 es par


ademas c+3 es menor que 10; por lo cual los posibles valores de c={1;3;5} y a+b=10-c

cuando c=1: 2(a-b)=4 a-b=2
a+b=9 entonces a= 5.5 lo cual es ilogico

cuando c=5: 2(a-b)=8 a-b=4
a+b=5 entonces a=4,5 tambien es ilogico

cuando c=3: 2(a-b)=6 a-b=3
a+b=7 entonces a=5 lo cual es la respuesta correcta
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