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 Resolucion del problema 4 y 5 del examen d ela onem 2009 nivel 2 tercera fase

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yodalia



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MensajeTema: Resolucion del problema 4 y 5 del examen d ela onem 2009 nivel 2 tercera fase   Mar Jul 30, 2013 7:04 pm

Resolver el problema:}
4.-Un profesor escribe en la pizarra los n∂umeros 1,2,3,.....,100 y le pide a Gerardo que borre n
n∂umeros consecutivos; luego Beatriz calcula la suma de los n∂umeros restantes y obtiene 3041. Halla la suma de todos los valores enteros que puede tomar n.
-----
5.-Cu∂antos enteros positivos n cumplen exactamente dos de las siguientes propiedades?
≤ n + 16 es un cuadrado perfecto.
≤ n + 1 es un cuadrado perfecto.
≤ n es un n∂umero primo
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alinserjhalin



Mensajes : 14
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MensajeTema: problema 4 del nivel 2 de la tercera fase de la onem 2009   Jue Ago 01, 2013 2:10 am

Un profesor escribe en la pizarra los numeros 1,2,3,.....,100 y le pide a Gerardo que borre "n" numeros consecutivos; luego Beatriz calcula la suma de los numeros restantes y obtiene 3041. Halla la suma de todos los valores enteros que puede tomar n.

1.planteamos la ecuacion del problema.

{[100(101)]/2}_[(k+1)+(k+2)+...+(k+n-1)+(k+n)]=3401
 5050_[nk+((n(n+1))/2)]=3041
               n[k+((n+1)/2)]=2009
de donde 1< n+k <100  ademas es facil darnos cuenta que
[k+((n+1)/2)] < n+k < 100 con  1 < n

2.analizamos la ecuacion anterior
  n[k+((n+1)/2)]=2009
primer caso: 2009x1=2009
segundo caso: 7x287=2009
en ambos casos no hay soluciones para n porque los dos factores de la ecuacion
n[k+((n+1)/2)]=2009
son menores que 100
tercer caso: 49x41=2009  tiene dos soluciones para n
  . si n=41 entonces k=28
  . si n=49 entonces k=16
por lo tanto la suma de los valores de n es 90
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