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 Problema 9

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johncuya
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MensajeTema: Problema 9   Dom Oct 02, 2011 5:31 pm

Problema 9:

La boveda de un banco tiene N cerraduras de modo que para abrir la boveda se deben abrir todas las N cerraduras simultaneamente. Cinco ejecutivos trabajan en el banco y cada uno de ellos tiene algunas de las llaves de las cerraduras, de tal modo que tres cualesquiera de ellos pueden abrir la boveda, pero ninguno par de ellos puede hacerlo. Halla el menor valor de N.




Un avance al problema es encontrar un ejemplo del posible mínimo. Un ejemplo con N = 10 es el siguiente:

Supongamos que las llaves de las cerraduras estén numeradas del 1 al 10, entonces si los ejecutivos tienen las siguientes llaves:

ejecutivo A: 1, 2, 3, 4, 5, 6
ejecutivo B: 1, 2, 3, 7, 8, 9
ejecutivo C: 1, 4, 5, 7, 8, 10
ejecutivo D: 2, 4, 6, 7, 9, 10
ejecutivo E: 3, 5, 6, 8, 9, 10,

entonces cualesquiera 3 de ellos tendrán juntos todas las llaves, pero cualesquiera dos de ellos no.

¿Alguien tiene una manera de probar que N es mayor o igual que 10?


Última edición por johncuya el Jue Oct 27, 2011 12:07 am, editado 4 veces
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ROZ



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MensajeTema: Re: Problema 9   Vie Oct 14, 2011 9:58 pm

como ningún par de ejecutivos puede tener todas las llaves entonces hay como mínimo una llave que no poseen 2 ejecutivos pero que la poseen loa otros tres.
la cantidad de parejas de ejecutivos que se pueden formar es de 10 y por cada pareja debe exixtir una llave, por ello la cantidad de llaves es mayor o igual a 10.
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Tipe

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MensajeTema: Re: Problema 9   Sáb Oct 22, 2011 12:57 pm

¿No sería mejor escribir el enunciado de nuevo? Algunos que este revisando los comentarios van a querer ver el enunciado para aclarar algo seguro...
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jarmand



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MensajeTema: Problema 9   Sáb Oct 22, 2011 8:35 pm

La boveda de un banco tiene N cerraduras de modo que para abrir la boveda se deben abrir todas las N cerraduras simultaneamente. Cinco ejecutivos trabajan en el banco y cada uno de ellos tiene algunas de las llaves de las cerraduras, de tal modo que tres cualesquiera de ellos pueden abrir la boveda, pero ninguno par de ellos puede hacerlo. Halla el menor valor de N.

Este es el enunciado 9 del nivel 2, el problema no lo llegue a resolver y veo ahora que no era nada dificil lo que paso es que no pude entenderlo me confundi al igual que muchos compañeros yo creo que hubiera sido mejor si hubieran especificado que los ejecutivos pueden tener llaves repetidas. Si ustedes se dan cuentan pocos alumnos han resuelto este enunciado... Gracias
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Joseph Vargas



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MensajeTema: Re: Problema 9   Lun Oct 24, 2011 11:44 pm

Hola.
Gracias por la resolución del problema 9, lo plateé de la misma manera pero no puse la respuesta correcta por cuestiones personales...
Me gustaría la solcuión del problema 10 o algún avance, pues, aún no lo entiendo completamente.
El problema lo planteé así:
A: a b c d e f - - - -
B: a b c - - - g h i -
C: a - - d e - g h - j
D: - b - d - f g - i j
E: - - c - e f - h i j
Donde cada letra diferente representa una llave diferente.
Gracias.
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johncuya
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MensajeTema: Re: Problema 9   Mar Oct 25, 2011 9:48 am

Hola,

jarmand muchas gracias por el enunciado y por tus comentarios, y creo que tienes razón se debió mencionar que los ejecutivos podían tener llaves repetidas, aunque si no fuese así no tendría sentido.

En estos días estoy con dificultades por el internet, pero pronto se tendrán todos los enunciados en sus respectivos post.

hasta luego.


Última edición por johncuya el Dom Mar 04, 2012 12:37 pm, editado 1 vez
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luca-97



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MensajeTema: Re: Problema 9   Jue Oct 27, 2011 12:00 am

Bueno esta es mi solucion:
Podemos convertir el problema en uno de conjuntos de la siguiente manera ,cada ejecutivo es considerado un conjunto y los elementos de este conjunto son las llaves que este ejecutivo posee. Si N es el numero de llaves llamemos al conjunto S = {1,2,3,...,N} cada numero es una llave, denotemos a O(X) como el cardinal de X.

Luego sean A, B, C, D, E los cinco conjuntos (hay 5 ejecutivos) y ahor consideremos los conjuntos S - A =A*, S - B = B*, S - C = C*, S - D = D*, S - E = E*, algo que debemos de observar es que O(A* ∩ B* ∩ C*) = 0, pues si fuese al menos 1 hay un elemento que no esta en A, B, C pero sabemos que entre cualesquiera tres tenemos las llaves del 1 al N es por eso que dicho valor es 0, y en general se cumple eso para cualesquiera tres conjuntos entre A*, B*, C*, D*, E*. Tambien se cumple que O(A* ∩ B*) ≥ 1 esto porque si fuese 0 entonces solo con A y B se podria tener las llaves del 1 al N lo cual no es cierto, esto tambien se cumple para cualesquiera dos conjuntos entre A*, B*, C*, D*, E*. Con esto veamos que siempre que escogemos dos conjuntos estos tienen un elemento comun que ademas no puede aparecer a tres conjuntos, con esto tenemos al menos elementos ,es decir N ≥10. Ahora mostremos un ejemplo con N =10:

A*={1,2,3,4} , entonces A={5,6,7,8,9,10}
B*={1,5,6,7} , entonces B={2,3,4,8,9,10}
C*={2,5,8,9} , entonces C={1,3,4,6,7,10}
D*={3,6,8,10}, entonces D={1,2,4,5,7,9}
E*={4,7,9,10}, entonces E={1,2,3,5,6,8}.
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