Olimpiadas Matemáticas en el Perú
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 Nivel 2 - problema 2

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AutorMensaje
johncuya
Admin


Mensajes : 321
Fecha de inscripción : 10/07/2011
Edad : 30

MensajeTema: Nivel 2 - problema 2   Mar Nov 27, 2012 6:39 pm

Problema 2

Encuentre todas las parejas de numeros reales tales que:


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rafihka



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MensajeTema: Re: Nivel 2 - problema 2   Dom Dic 02, 2012 11:39 pm

en la expresion como a y b estan dentro de una raiz significa que son reales no negativos haciendo cambio de variables a=x^2 y b=y^2 con x,y reales no negativos reemplazando tenemos
x + y + (x^2 + y^2)^1/2 = xy + 2
(x^2 + y^2)^1/2= xy -x -y + 2
elevando al cuadrado,simplificando y agrupando convenientemente tenemos
(x^2 -2x)y^2 -(2x^2 -6x + 4) y +8 -4x =0

(x-2)[xy^2 -2(x-1)y - 4]=0

(x-2)(y-2)(xy +2 ) =0
donde x= 2 o y = 2 las unicas soluciones reales positivas regresando ala variable original es facil determinar que son 2 soluciones (4 , 0) y (0 , 4)
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Angelo Ortiz



Mensajes : 2
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MensajeTema: Solución del problema 2- Nivel 2   Jue Dic 06, 2012 2:49 pm

Por condición del problema se obtiene que a y b son reales no negativos, los cuales sumados son mayores o iguales que 4.

Después elevamos al cuadrado la ecuación, obteniendo:



Agregamos a cada miembro , se obtiene:



Factorizamos:





Pero por condición del problema : , además queda descartada la posibilidad , ya que siempre es mayor que 0.

Entonces : . Elevamos al cuadrado y resulta: , eliminamos y nos quedan dos casos:

a) Cuando el factor común es : . Las soluciones serán ,

b) Cuando el factor común es : . Las soluciones serán ,

Vale aclarar que la pareja se encuentra en los dos casos, por lo tanto sólo se coge en uno de ellos. Además la suma de los dos componentes es mayor o igual que 4, cumple con una condición inicial.
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