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 Nivel 2 - problema 1

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johncuya
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MensajeTema: Nivel 2 - problema 1   Mar Nov 27, 2012 6:37 pm

Problema 1

En un triangulo rectangulo ABC (recto en B) se ha trazado su circunferencia inscrita, la cual es tangente al lado AB en D, al lado BC en E y al lado AC en F. Si FDC = 2DCB, demuestre que AF = BC.

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MensajeTema: Re: Nivel 2 - problema 1   Lun Dic 03, 2012 12:07 am

como el triangulo rectangulo tiene circunferencia inscrita tenemos AD=AF=a , DB =BE=b ,EC=CF=c
sea P el punto de interseccion de las rectas DF y BC es facil ver que el triangulo PDC es isosceles. Aplicamos el teorema de menelao en el triangulo ABC con la recta PF
a.b.2(b+c)=a.c.(b+c)
2b=c
por tanto AB=a+b BC=3b AC=a +2b aplicando teorema de pitagoras se obtiene 3b=a
BC=3b=a=AF lo que se queria desmostrar
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