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 Nivel 1 - problema 1

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johncuya
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MensajeTema: Nivel 1 - problema 1   Mar Nov 27, 2012 6:23 pm

Problema 1

El producto de tres enteros positivos diferentes es 19600000 y su maximo comun divisor es d. Halle el mayor valor que puede tomar d.

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MensajeTema: Re: Nivel 1 - problema 1   Sáb Dic 08, 2012 1:46 pm

sean los enteros positivos A;B;C DIFERENTES ENTRE SI:

AxBxC=19600000

AxBxC=27x55x72

aplicando concepto de MCD voy a dar un ejemplo donde el mcd de estos tres numeros sea maximo.

A=23 x52x7
B=22x52x7
C=22x5
entonces el MCD=22x5=20
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johncuya
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MensajeTema: Re: Nivel 1 - problema 1   Sáb Dic 08, 2012 5:31 pm


¿Por que ese valor es el máximo?

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MensajeTema: Re: Nivel 1 - problema 1   Lun Dic 10, 2012 1:33 pm

johncuya escribió:

¿Por que ese valor es el máximo?
El MCD son los factores comunes con su menor exponente

ahora para que el mcd de A,B,C sea maximo ;tenemos que destribuir los factores de la descomposicion canonica de
19600000, de manera que sean comunes a los tres numeros y que sus exponentes sean iguales para cada numero
aunque esto es imposible porque el 5 y el 7 no son multiplos de tres entonces le corresponde a uno de los factores 2 exponente 2 y a uno de los factores 5 exponente 1 para poder conceguir que (d ) tome su mayor valor

A=23 x52x7
B=22x52x7
C=22x5

ademas aqui presento un ejemplo donde el mcd es menor que 20

A=24X55
B=22X7
C=21X7

MCD=2
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johncuya
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MensajeTema: Re: Nivel 1 - problema 1   Lun Dic 10, 2012 8:11 pm

Bueno, este es un error común:

Pensar que con sólo un ejemplo se puede demostrar una maximilidad cuando en realidad estas demostrando que el máximo es al menos 20. No importa si colocas "voy a tratar de que sea el mayor posible" o "después de hacer todos los casos". También veo que subestima el problema, no veo que lo haya intentado más de 5 minutos, cuando para todo el examen hay 4 horas, es por una razón, hay que pensar en cómo, usando los conceptos básicos de los números, justificar cada problema (Algo de justificación se puede ver para 5 y 7 pero nada más).

Hasta luego.

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