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 Problema de Austrian - Polish Competition

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viterick



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MensajeTema: Problema de Austrian - Polish Competition    Jue Ene 26, 2012 11:45 pm

Dada una circunferencia (Gamma) con centro O y radio r. Sea AB un
diametro fijo de (Gamma) y sea K un punto fijo del segmento AO.
Denotemos por t a la recta tangente de (Gamma) en A. Para cualquier
cuerda CD (distinto de AB) que pasa por K y sea P y Q los puntos de
interseccion de las rectas BC y BD con la tangente t. Pruebe que AP.AQ
es constante.

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viterick



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MensajeTema: Re: Problema de Austrian - Polish Competition    Vie Feb 17, 2012 10:36 pm

Solución realizada por Carlo Hugo Mondoñedo Decena:


Si llamo "a" al ángulo ABC, "b" al ángulo ABD y "k" a la longitud del segmento AK, entonces la longitud de AP es "2r.tg(a)" y la de AQ "2r.tg(b)", solo debería demostrar que el producto de las tangentes de "a" y "b" dependen exclusivamente de "k" y "r".

De lo previamente definido, puedo rápidamente deducir que el ángulo ADC es también "a" y el segmento AD tiene una longitud de "2r.sen(b)".

En el triángulo AKD trazo una altura (KH), el ángulo AKH medirá "b", de ello se desprende que la longitud de KH es "k.cos(b)", la de AH "k.sen(b)" y la de HD es "(2r-k).sen(b)".

A partir del triángulo KHD, la tangente de "a" es el cociente "KH/HD", es decir, tg(a)=[k/(2r-k)].ctg(b)

Esta última expresión puede ser reescrita como "tg(a).tg(b)=k/(2r-k)" con lo cual se demuestra que el producto de las longitudes de los segmentos AP y AQ es constante para un punto K dado, y ese producto sería (4k.r^2)/(2r-k).
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viterick



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MensajeTema: Re: Problema de Austrian - Polish Competition    Vie Feb 17, 2012 10:40 pm

Si consideramos un cuadrado inscripto, donde una de las diagonales es
un diametro

El problema es equivalente a probar que:
tan(a)tan(b) = constante para AE,EC constantes
Como los triangulos EBC y EAD son semejantes, se cumple que:
AE·EC = BE·ED
tambien tenemos:
EC/sen(a) = ED/cos(b)
EC/sen(b) = BE/cos(a)
Asi que:
EC·EC/(sen(a)·sen(b)) = ED·BE/(cos(b)·cos(a))
y como ED·BE = AE·EC
resulta finalmente tan(a)tan(b) = EC/AE

Solución de Eduardo.
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viterick



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MensajeTema: Re: Problema de Austrian - Polish Competition    Vie Feb 17, 2012 10:45 pm

Y finalmente una soluciion de Ignacio Larrosa Cañestro

Aqui hay otra versión del applet adaptada a esta solución, en la que se explica mejor el cálclo de la potencia:


http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Austro_polaco2.html

Por cierto, que el punto K puede ser cualquiera del diámetro AB, no es necesario restringirlo al radio.
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