Olimpiadas Matemáticas en el Perú
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 Terna Ùnica

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viterick

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Mensajes : 25
Fecha de inscripción : 07/11/2011

MensajeTema: Terna Ùnica   Jue Ene 26, 2012 11:40 pm

Demostrar que existe solamente una terna de números enteros positivos, cada uno mayor que 1, tal que el producto de dos de los números más uno es divisible por el tercero.
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Emerson Soriano



Mensajes : 55
Fecha de inscripción : 26/10/2011
Edad : 29

MensajeTema: Re: Terna Ùnica   Sáb Feb 04, 2012 10:12 pm

Sabemos que por el dato, a,b y c son PESI dos a dos...

Por otro lado si ab +1 = 0 (mod c) entonces

ab +bc+ac+1= 0 (mod c). Y de la misma forma ab+bc+ac+1 es divisible por a,b y c por lo tanto es divisible por abç ya que son PESI dos a dos....

Entonces ab+bc+ac+1= abc .k para algún entero positivo k

Dividiendo tenemos que E= (1/a)+(1/b)+(1/c)+(1/abc)=k
Como a,b y c son distintos dos a dos entonces sin perdida de generalidad tomamos a
Si a>=3 entonces b>=4 y c>=5 por lo tanto E<=1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/60 =48/60 lo cual contradice ya que k es entero y esto implica que a=2

Si b>=4 entonces c>=5 y reemplzando en E tenemos que E<=39/40 lo cual es una contradicción y por eso b=3

Como a=2 y b=3 entonces 2.3+1 es divisinle por c .... Y por eso c=7. Así que ahí tenemos la única terna que cumple......

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Terna Ùnica

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