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 Problema 20

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AutorMensaje
johncuya
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MensajeTema: Problema 20   Vie Dic 02, 2011 9:27 pm

Problema 20

Los números reales a, b y c son distintos entre sí y satisfacen:

Halla el valor de 1/a + 1/b + 1/c.

A) 0
B) -8
C) 4
D) 8
E) -4
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johncuya
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Mensajes : 321
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MensajeTema: Re: Problema 20   Vie Dic 02, 2011 9:34 pm

Un profesor me pidió las soluciones de los problemas 17, 18, 19 y 20. Pienso que esas soluciones deben estar aquí en el foro, ¿alguien tiene alguna solución interesante?
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ROZ



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MensajeTema: Re: Problema 20   Sáb Dic 03, 2011 5:56 pm

a3=1-4(b+c)...I
b3=1-4(a+c)...II
c3=1-4(b+a)...III

Sumando I,II y III:
a3+b3+c3=3-8(a+b+c)...IV

despejamos b+c en I y reemplazamos en IV:
a3+b3+c3=2a3-8a+1
despejamos a+c en II y reemplazamos en IV:
a3+b3+c3=2b3-8b+1
despejamos a+b en III y reemplazamos en IV:
a3+b3+c3=2c3-8c+1

De las 3 ultimas ecuaciones:
2a3-8a+1=2b3-8b+1=2c3-8c+1
Entonces a,b,c son raíces de una misma ecuación: 2x3-8x+1= a3+b3+c3
Luego,como a, b y c son distintos, se cumple por Cardano Viete que:
a+b+c=0 ...V
abc=-1/2+(a3+b3+c3)/2 ...VI
ab+ac+bc=-4

De V se obtiene que a3+b3+c3= 3abc
reemplazando en VI se obtiene que abc=1

Finalmente:
1/a+1/b+1/c=(ab+bc+ac)/abc=-4


Última edición por ROZ el Lun Jun 10, 2013 1:11 am, editado 2 veces
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Tipe

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MensajeTema: Re: Problema 20   Jue Mar 08, 2012 11:40 pm

Bonito problema. Me gustaría resaltar el hecho de que el problema dice que a, b, c son distintos. ¿EN la solución anterior se usó ese dato?, ¿fue necesario?

Jorge.
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Problema 20

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