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 Problema 17

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johncuya
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Mensajes : 321
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MensajeTema: Problema 17   Vie Dic 02, 2011 9:18 pm

Problema 17

Para cada entero positivo n sea S(n) la suma de sus dígitos. Por ejemplo, S(102) = 3 y S(55) = 10. ¿Para cuáantos enteros positivos m se cumple que m + S(m) = 2011?

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
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Joseph Vargas



Mensajes : 4
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MensajeTema: Mi solución al problema 17 de la Fase 1 / nivel 2 / onem 2011   Sáb Dic 03, 2011 12:08 am

Voy a demostrar que "m" tiene 4 dígitos:
*Si m=abc, o sea tres dígitos, se tendría que:
m + S(m)=2011 => abc + (a+b+c)=2011
100a+10b+c+a+b+c=2011 => 101a+11b+2c=2011
Lo cual no llega a la igualdad aún a=9, lo mismo ocurre si las cifras de "m" son menores 3.
*Si m=abcde, se tendría que:
m + S(m)=2011 => abcde+(a+b+c+d+e)=2011
10001a+1001b+101c+11d+2e=2011
Donde basta que a=1 para que no cumpla lo pedido. Lo mismo ocurre si el número de cifras es mayor que cinco.
Entonces m=abcd; se tiene:
m+S(m)=2011 => abcd+(a+b+c+d)=2011
=> 1001a+101b+11c+2d=2011

Tomando dependencia de "a":


  • Caso I: a=1
    Se tendría 101b+11c+2d=1010 (como a=1, se reemplaza en 1001a y se resta a ambos lados 1001 quedando del lado derecho 2011-1001=1010)
    -Donde b=9 y se tiene: 11c + 2d = 101 (Si fuese b=8, se tendría 11c+2d=202, donde no cumple la igualdad así ambos sean el mayor dígito)
    -Luego c=9 y se tiene 2d=2 y d=1 (Si c=8 se tendría 2d=13 y no daría un entero y si c<8 no cumpliría que 2d<= 18)
    Por lo tanto el valor de "m" es abcd = 1991
  • Caso II: a=2
    Se tendría 101b + 11c + 2d = 9, lo cual, por deducción, no da valores enteros al menos a una de las incógnitas.
  • Caso III: a=3,4,5 y mayores
    En estos casos, al reeplazar "a", superaría al número 2011; por lo que no cumple la condición.
Entonces para un entero positivo se cumple la condición del problema.
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ROZ



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Edad : 21

MensajeTema: Re: Problema 17   Sáb Dic 03, 2011 4:35 pm

El mayor valor de S(m) es 28 y se da con m=1999, como m=2011-S(m), entonces m≥1983.
Si 2009≥m≥2000 a m impar corresponderia S(m) impar , y a m par corresponderia S(m) par pero sumando 2 pares o 2 impares no se puede obtener 2011. Análogamente con1989≥m≥1983
Ademas 2010 y 2011 no cumplen, por lo tanto 1999≥m≥1990, de aqui S(m)≥19 reemplazando en m=2011-S(m), tenemos que 1992≥m≥1990. el unico valor de m que cumple es 1991


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