Olimpiadas Matemáticas en el Perú
Olimpiadas Matemáticas en el Perú

Comentarios y discusión de problemas. Soluciones de la ONEM.
 
ÍndiceÍndice  CalendarioCalendario  FAQFAQ  BuscarBuscar  MiembrosMiembros  Grupos de UsuariosGrupos de Usuarios  RegistrarseRegistrarse  Conectarse  Editor de ecuaciones de LatexEditor de ecuaciones de Latex  
El foro estará bloqueado por inactividad hasta nuevo aviso. Pueden ver el contenido pero no se puede comentar ni agregar nuevos miembros, gracias. John Cuya: johncmasb@gmail.com

Comparte | 
 

 Problema 3 - Nivel 3

Ver el tema anterior Ver el tema siguiente Ir abajo 
AutorMensaje
luca-97



Mensajes : 14
Fecha de inscripción : 30/09/2011
Edad : 20

MensajeTema: Problema 3 - Nivel 3   Dom Nov 27, 2011 11:41 pm

Primero probemos que los numeros k=2θ-1 cumplen la condicion del problema , entonces procedemos por contradiccion supongamos que existe un entero n tal que n|I(kn+1) donde I (m) es el mayor divisor impar de m. Sea p el menor divisor primo de n entonces n =pβ.s donde mcd(p,s)=1 por lo tanto p|n|I(kn+1)|kn+1 pero por el pequeño teorema de Fermat kn+1Ξ ks+1 (modp) es decir p|ks+1 luego como p|kp-1-1 ya que es facil ver que p y k son coprimos ,tendremos que el orden de k modulo p al que llamaremos u cumple que p|ku-1 y tambien que u|2s y u|p-1 entonces u|mcd(2s,p-1)=2mcd(s, p-1/2) =2 esto ultimo porque si existiera un primo q|s , q|p-1/2 tendriamos q|s|n y ademas q ≤p-1/2< p lo cual es una contradiccion pues p es el menor divisor primo de n. En resumen u|2 luego como p es impar ya que divide a I(kn+1) que es un nuero impar tenemos que p|k2-1 =(k-1)(k+1)=(k-1)2θ de esto p|k-1 y por consiguiente p|ks-1 pero sabiamos que p|ks+1 restando estos resultados obtendremos que p|2 lo cual es claramente una contradiccion.Por lo tanto no existe tal n.
Ahora veamos que los k tales que k +1 ≠2θ no satisfacen la condicion del problema :como k +1 ≠2θ entonces existe un primo p > 2 tal que p|k+1, notemos lo siguiente : cualquier numero entero positivo se puede escribir como 2α.T donde a≥0 y T es impar entonces I(2α.T) =T es claro que T divide a ese numero ahora veamos que cualquier otro impar que divide a 2α.T tambien divide a T y por lo cual es menor o igual a T , si x impar divide a 2α.T entonces x|T pues (x,2)=1 , luego x≤T y queda probado por lo tanto si w es un numero impar que divide a 2α.T entonces w|I(2α.T) esto nos permite decir en el problema que como p|k+1|kp+1 entonces p|I(kp+1) lo cual seria una contradiccion al tomar n =p en la condicion : cualquier n≥2 se cumple que n no divide a I(kn+1).Esto completa la solucion del problema!!!! Very Happy
Volver arriba Ir abajo
Ver perfil de usuario
luca-97



Mensajes : 14
Fecha de inscripción : 30/09/2011
Edad : 20

MensajeTema: Re: Problema 3 - Nivel 3   Dom Nov 27, 2011 11:50 pm

Bueno solo para recordar El pequeño teorema de Fermat dice que dado un numero p primo y un entero k coprimo con p se cumple que kp-1 Ξ 1(modp)
Y el Orden de un entero K en modulo n donde k y n son coprimos es el menor entero positivo u tal que ku Ξ 1(modn) este numero existe pues kφ(n)Ξ 1(modn) , una propiedad interesante de esto es que si tenemos un numero b tal que kb Ξ 1(modn) entonces u|b. study
Volver arriba Ir abajo
Ver perfil de usuario
 

Problema 3 - Nivel 3

Ver el tema anterior Ver el tema siguiente Volver arriba 
Página 1 de 1.

 Temas similares

-
» Tengo un problema con Reiki nivel 1
» Descubrir el problema
» problema de piel
» Problema con padres y estudio
» Detector de nivel de voltaje para señales AC

Permisos de este foro:No puedes responder a temas en este foro.
Olimpiadas Matemáticas en el Perú :: Olimpiadas Internacionales :: Olimpiada Matemática Rioplatense :: Rioplatense 2008 :: Nivel 3-