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 Desigualdad

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AutorMensaje
luca-97



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MensajeTema: Desigualdad   Dom Nov 20, 2011 4:49 pm

Encontrar la mayor constante K tal que para cualesquiera numeros reales positivos a,b,c con abc =1 se cumpla la siguiente desigualdad :
a2 + b2 + c2 + 3K ≥ (K+1)( ab + bc+ ca) santa
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juantheron



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MensajeTema: Re: Desigualdad   Lun Nov 21, 2011 12:33 am

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luca-97



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MensajeTema: Re: Desigualdad   Mar Nov 22, 2011 10:09 pm

Me parece que ha entendido mal el problema porque el problema no es equivalente ha hallar el menor valor de a2 +b2 +c2 entre ab +bc +ca Question esa parte me parece incorrecta .
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ands



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MensajeTema: Re: Desigualdad   Miér Nov 23, 2011 5:31 pm

el traductor falla a veces XD
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ands



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MensajeTema: Re: Desigualdad   Miér Nov 23, 2011 6:13 pm

:3 ya me salio aqui va x) :
sea :a=1, b=x y c=1/x
entonces en la desigualdad :
1+x2 +1/x2 +3k≥ (k+1)(1+x+1/x) ; sea x+1/x =m ( facil ver que m≥2)
reemplazando en la desigualdad :
1+m2-2+3k≥(k+1)(1+m)
m2-m-2≥k(m-2)
(m-2)(m+1)≥k(m-2) ademas para todo m≥2 existe un x / m=x+1/x
si k es mayor a 3 entonces tomamos un m entre 2 y (k-1) y la desigualdad seria incorrecta
por o tanto 3≥k (:
ademas :
9≥ 3(ab+ac+bc) y a2+b2+c2≥ab+ac+bc
sumando quedaria:
a2+b2+c2+3(3)≥ 4(ab+ac+bc)
es decir k max es 3 i cumple las condiciones :B
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Juan Benal



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MensajeTema: Re: Desigualdad   Miér Nov 23, 2011 10:02 pm

ands escribió:
:3 ya me salio aqui va x) :
sea :a=1, b=x y c=1/x
entonces en la desigualdad :
1+x2 +1/x2 +3k≥ (k+1)(1+x+1/x) ; sea x+1/x =m ( facil ver que m≥2)
reemplazando en la desigualdad :
1+m2-2+3k≥(k+1)(1+m)
m2-m-2≥k(m-2)
(m-2)(m+1)≥k(m-2) ademas para todo m≥2 existe un x / m=x+1/x
si k es mayor a 3 entonces tomamos un m entre 2 y (k-1) y la desigualdad seria incorrecta
por o tanto 3≥k (:
ademas :
9≥ 3(ab+ac+bc) y a2+b2+c2≥ab+ac+bc
sumando quedaria:
a2+b2+c2+3(3)≥ 4(ab+ac+bc)
es decir k max es 3 i cumple las condiciones :B

Que fue eso ?



Última edición por Juan Benalcatre el Miér Nov 23, 2011 10:48 pm, editado 1 vez
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Juan Benal



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MensajeTema: Re: Desigualdad   Miér Nov 23, 2011 10:16 pm

Primera parte CANDIDATO de MAX(K) :
sea :a=x2 , b=1/x , c=1/x ; y reemplazando tenemos :

x4+2(1/x)2+3K >= (K+1)(2x+(1/x)2
x4+(1/x)2-2x >= (K)(2x+(1/x)2-3)
(x3-1)2/x2 >= (K)(x-1)2(2x+1)/x2 .
(x2+x+1)2 >= (k)(2x+1)

k =< f(x)= (x2+x+1)2 / (2x+1) .

haciendo x -> 0 tenemos que f(x) -> 1 . y ademas f(x) > 1 ; para x > 0 ( verificar ) .

luego max K =< 1 . con ello k=1 es un fuerte candidato .

Segunda Parte : PROBAR QUE K=1 CUMPLE :

Para probar que : a2+b2+c2+3 >= 2 ( ab+bc+ca ) cuando abc=1 .
Se consigue haciendo Desigualdad de SHUR y luego una desigualdad de Muirhead .
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ands



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MensajeTema: Re: Desigualdad   Jue Nov 24, 2011 11:46 am

u.u si ya me habia dado cuenta del error D:
i venia a eliminar x)
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