Olimpiadas Matemáticas en el Perú
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 Nivel 1 Problema 1

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johncuya
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Mensajes : 321
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MensajeTema: Nivel 1 Problema 1   Dom Nov 13, 2011 12:26 pm

Problema 1

Se considera una semicircunferencia de diámetro AB, centro O y radio r. Sea C el punto del segmento AB tal que AC = 2r/3. La recta L es perpendicular a AB por C y D es el punto de intersección de L y la semicircunferencia. Sean H el pie de la perpendicular trazada desde O hacia AD y E el punto de intersección de las rectas CD y OH.
a) Calcular AD en función de r.
b) Si M y N son los puntos medios de AE y OD respectivamente, hallar la medida del ángulo MHN.
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KEAVAL



Mensajes : 5
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Localización : Lima

MensajeTema: Re: Nivel 1 Problema 1   Miér Nov 23, 2011 10:52 pm

a)Piden AD
En el triangulo ADB , con altura DC, se cumple: (AD)²=(AC)(AB), ya que angADB=angACD=90°
→AD={√[(2R)/3].(2R)} ,por lo tanto: AD=[(√12)R]/3
b)Piden angMHN
Por dato del problema: E es la interseccion de las alturas desde O hacia AD y desde D hacia AO, entonces E es el ortocentro del triangulo ADO, luego por lo dicho anteriormente angDAE=angDOE...(1)
Como M es punto medio de AE, y el triangulo AHE es recto en H, entonces angDAE=angAHM, analogamente, en el triangulo DHO recto en H, angDOE=angOHN
Pero por (1): angAHM=angOHN, y como angAHM+angMHE=90°, entonces angOHN+angMHE=90°
Por lo tanto: angMHN=90°
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