Olimpiadas Matemáticas en el Perú
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 Problema 2

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AutorMensaje
johncuya
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MensajeTema: Problema 2   Vie Nov 11, 2011 10:57 pm


Problema 2

En un pizarrón están escritos los números enteros desde el 1 hasta 4n inclusive. En cada paso, Pedro borra dos números del pizarrón, a y b, y escribe el número ab/(2a2 + 2b2)1/2. Pedro repite el procedimiento hasta que queda un solo número. Demostrar que este número será menor que 1/n, sin importar qué números haya elegido Pedro en cada paso.
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Mensajes : 9
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MensajeTema: Re: Problema 2   Sáb Dic 03, 2011 9:06 pm

no estoy muy seguro si la solucion que planteo a continuacion, asi que pediria si alguien encuentra un error me lo pudiera corregir.

Llamaremos a los cuatro numeros de la ultima operacion x1,x2,x3,x4


En el denominador x1 , en caso de que n>1 puede ser expresado como el fruto de la operacion de 2 numeros, sean estos numeros y1 y y2,tenemos:




Hacemos lo mismo con x2,x3,x4 y reemplazando quedaria:




reemplazando y1 como el fruto de la operacion de 2 numeros z1 y z2,y2como el fruto de la operacion de 2 numeros z3 y z4,...,y y8 como el fruto de 2 numeros z8 y z16 nos queda :


Para n=2, z1,z2... y z16 son los numeros del conjunto (1,2,....,16)

Analogamente podemos llegar para otros valores de n mediante la siguiente forma:




Bastara demostrar que el denominador es mayor que n como el resultado de la raiz sera mayor que 1,basta demostrar que 2n-1 es mayor o igaul a n y en efecto esto siempre se cumple

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johncuya
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Mensajes : 321
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MensajeTema: Re: Problema 2   Dom Dic 04, 2011 6:15 pm

Hola,

me parece que estás considerando que en cada paso queda la mitad de los números, pero no es así, en cada paso sólo nos queda un número menos. las fórmulas que obtienes son correctas pero es un caso particular.
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MensajeTema: Re: Problema 2   

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