Olimpiadas Matemáticas en el Perú
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 Problema 1

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AutorMensaje
johncuya
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Mensajes : 321
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MensajeTema: Problema 1   Vie Nov 11, 2011 10:56 pm

Problema 1

Encontrar todas las ternas de enteros positivos (x, y, z) tales que x2 + y2 + z2 = 411.
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Mensajes : 9
Fecha de inscripción : 10/10/2011
Edad : 20

MensajeTema: Re: Problema 1   Sáb Dic 03, 2011 12:58 am

Un cuadrado perfecto impar deja resto 1 al ser dividido entre 4 y un cadrado perfecto par deja resto 0. Además 411≡0(mod3), para que esto suceda: x2, y2 y z2 deben ser todos pares o todos impares. Si fueran pares 411 debería ser par , esto es una contradiccion. Por ello x2,y2 y z2 son inpares.

SIn pérdida de generalidad asumamos que x≥y≥z, ademas x,y,z deben ser menores o iguales a 20.

como todo cuadrado perfecto deja resto 1 ó 0 al ser dividido entre 3 y 411≡0(mod3), entonces tenemos 2 posibles casos:

PRIMER CASO: x2,y2,z2≡0(mod3)
en consecuencia x,y,z deben ser multiplos de 3. Es decir x,y,z estan en el conjunto {3,9,15}:
- x=15 , y2+z2 =186, Pero como y2 y z2no deben ser mayores a 186, y2+z2 < 92 + 92 , y2+z2 < 162
- x<9 , y2+z2 >330 , pero y2+z2< 92 + 92, y2+z2 < 162

SEGUNDO CASO
x2,y2,z2≡1(mod3)
en consecuencia x,y,z no deben ser multiplos de 3 Es decir x,y,z estan en el conjunto {1,5,7,11,13,17,19}:
- x=19, y2+z2=50,por ello y,z<8.Si y=7 entonces z=1. Si y=5 entonces z=5. Si y<5 entonces z<5,z>y.
- x=17 y2+z2=122 .Por ello y,z<12 Si y= 11 entonces z=1. Si y≤7 entonces z>y.
-x=13, y2+z2=242. si y=13, z no es entero. si y=11, z =11. Si y≤7 entonces z>y.

Resumiendo. Las ternas son:
(19,7,1) y (19,1,7),(1,19,7),(7,19,1),(7,1,19),(1,7,19)
(19,5,5) y (5,19,5),(5,5,19)
(17,11,1) y (17,1,11),(1,17,11),(11,17,1),(1,11,17),(11,1,17)
(13,11,11) y (11,13,11), (11,11,13)


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