Olimpiadas Matemáticas en el Perú
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 Problema 9

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johncuya
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MensajeTema: Problema 9   Mar Nov 08, 2011 10:21 am

Problema 9

En cada casilla de un tablero de 5 x 5 debe escribirse una de las letras A; B; C; D; E de tal forma que en cada subtablero de 1 x 3, en cada subtablero de 3 x 1 y en cada subtablero de 2 x 2 las letras sean diferentes, ¿de cuántas formas se puede hacer eso?


Aclaración. Los subtableros de 1 x 3, de 3 x 1 y de 2 x 2, son respectivamente:



Última edición por johncuya el Miér Nov 09, 2011 9:15 am, editado 4 veces
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johncuya
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MensajeTema: Re: Problema 9   Miér Nov 09, 2011 12:17 am

Demos a cada casilla una coordenada (i, j) donde i es el número de fila; j el número de columna.


En cada casilla se debe escribir una de las letras A; B; C; D; E. Entonces la casilla (1, 1) tiene 5 posibilidades, la casillas (1, 2) tiene 4 posibilidades (pues debe ser distinta a la anterior), la casilla (2, 1) tiene 3 posibilidades (debe ser distinta a los dos anterioes) y la casilla (2, 2) tiene dos posibilidades. Luego, en total hay 5.4.3.2 = 120 maneras de pintar el subtablero de 2 x 2 de la esquina superior izquierda. Ahora sea


Una manera de pintar dicho subtablero, luego la casilla (1, 3) es distinta a A, B y D; la casilla (2, 3) es distinta a B, C y D, entonces tenemos dos posibilidades:


Luego, el resto de las casillas se pueden llenar de una única manera (verificar esto):


Finalmente, como por cada manera de llenar el subtablero de 2 x 2 superior izquierdo hay 2 manera de llenar todo el tablero, entonces la cantidad de maneras de llenar el tablero de 120.2 = 240.
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