Olimpiadas Matemáticas en el Perú
Olimpiadas Matemáticas en el Perú

Comentarios y discusión de problemas. Soluciones de la ONEM.
 
ÍndiceÍndice  CalendarioCalendario  FAQFAQ  BuscarBuscar  MiembrosMiembros  Grupos de UsuariosGrupos de Usuarios  RegistrarseRegistrarse  Conectarse  Editor de ecuaciones de LatexEditor de ecuaciones de Latex  
El foro estará bloqueado por inactividad hasta nuevo aviso. Pueden ver el contenido pero no se puede comentar ni agregar nuevos miembros, gracias. John Cuya: johncmasb@gmail.com

Comparte | 
 

 Problema 4

Ver el tema anterior Ver el tema siguiente Ir abajo 
AutorMensaje
johncuya
Admin
avatar

Mensajes : 321
Fecha de inscripción : 10/07/2011
Edad : 30

MensajeTema: Problema 4   Lun Nov 07, 2011 12:43 pm

Problema 4

Una ficha de dominóes una pieza rectangular de 1 × 2 (ó de 2 × 1); es decir, formada por dos cuadraditos. Se tiene un tablero de 8 × 8, tal que cada ficha de dominó puede cubrir exactamente dos de sus casillas. Juan coloca n fichas de dominó sobre el tablero, de manera que cada una cubre exactamente dos cuadraditos del tablero y ya no es posible colocar una ficha más sin que se superponga con alguna de las ya colocadas. Determina el menor valor de n para el cual la situación descrita es posible.
Volver arriba Ir abajo
Ver perfil de usuario http://olimpiadasperu.foroperu.org
viterick

avatar

Mensajes : 25
Fecha de inscripción : 07/11/2011

MensajeTema: solucion de Ignacio Larrosa   Dom Abr 01, 2012 4:12 pm

Volver arriba Ir abajo
Ver perfil de usuario
luca-97



Mensajes : 14
Fecha de inscripción : 30/09/2011
Edad : 20

MensajeTema: Re: Problema 4   Vie Ago 03, 2012 8:28 pm

Comencemos asignando un numero 1 a cada uno de los 6 vértices que contiene un domino(si un vértice pertenece a mas de un domino, entonces se suman los números que se asignaron a este vértice).De este modo, la suma de todos los números del tablero es 6n.Por otro lado, hay 49 vértices Tipo A , 28 vértices Tipo B y 4 vértices Tipo C .Vamos a probar que a cada vértice del Tipo A se le ha asignado al menos un 2 y a cada vértice del Tipo B se le ha asignado al menos un 1. TIPO A son los vértices que están en el interior del tablero, TIPO B son los vértices que están en el borde del tablero, pero que no son esquinas, TIPO C son las esquinas. Primero sea V un vértice del TIPO A y sean X, Y, Z, W las casillas que rodean a V donde X y Z están opuestos y también lo están Y y W. Supongamos que a V se le asigno un numero menor o igual a 1 entonces entre X y Z al menos 1 de estas casillas esta descubierta, pues estas 2 casillas no pueden pertenecer a un mismo domino y V tiene grado menor o igual a 1 del mismo modo entre Y y W también alguna de estas esta descubierta por lo tanto necesariamente entre estas 4 casillas habrán 2 vecinas descubiertas y se podría colocar un domino mas , lo cual es una contradicción.
Ahora si V es un vértice del TIPO B sean X y Y las casillas que contienen a V luego, si se le asigno 0 a V entonces X y Y están descubiertas por lo tanto se podría colocar un domino mas lo cual es también una contradicción .En síntesis , la suma total es 6n pero también hemos visto que es al menos 49(2)+28(1) = 126 entonces 6n ≥126 luego n≥21 y la igualdad se da solamente si las 4 esquinas tienen un 0 y los vértices del tipo B tienen un 1 ahora si M,N,P,Q,R,S,T,U son las casillas de la primera fila entonces M esta vacío pues la esquina tiene 0 mientras que N y P están cubiertos por un mismo domino del mismo modo U está vacío mientras que S y T están cubiertas por un mismo domino, pero Q esta vacío pues si estuviese ocupada entonces habría un vértice del tipo B con un 2 o mas y no se cumpliría la igualdad entonces R también estaría vacío y tendríamos vacíos a Q y a R y podríamos colocar un domino mas aqui falta un caso cuando los dominos son asi :http://imageshack.us/f/705/paint2lx.png/ pero como vemos de todos modos se puede llegar a una contradiccion ,por lo tanto no ocurre la igualdad y de este modo n≥22 y en el siguiente enlace hay un ejemplo con n=22 dominos cheers
http://imageshack.us/f/4/paint1t.png/
Volver arriba Ir abajo
Ver perfil de usuario
Contenido patrocinado




MensajeTema: Re: Problema 4   

Volver arriba Ir abajo
 

Problema 4

Ver el tema anterior Ver el tema siguiente Volver arriba 
Página 1 de 1.

 Temas similares

-
» Descubrir el problema
» problema de piel
» Problema con padres y estudio
» El enfoque en la solución y no en el problema
» como ayudar a alguien que no reconoce el problema

Permisos de este foro:No puedes responder a temas en este foro.
Olimpiadas Matemáticas en el Perú :: ONEM :: ONEM 2011 :: Cuarta fase :: Nivel 3-