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 Problema 3

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AutorMensaje
johncuya
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Mensajes : 321
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MensajeTema: Problema 3   Lun Nov 07, 2011 12:41 pm

Problema 3

Sea ABC un triángulo rectángulo, recto en B. Se trazan las bisectrices interiores CM y AN que se intersecan en I. Luego, se construyen los paralelogramos AMIP y CNIQ. Si U y V son los puntos medios de los segmentos AC y P Q, respectivamente, demuestra que U V es perpendicular a AC.
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ands



Mensajes : 13
Fecha de inscripción : 10/11/2011

MensajeTema: Re: Problema 3   Vie Nov 11, 2011 12:49 pm

sea: <BAC=2a y <BCA=2b , entonces <BAI=<IAC=<AIP=<ACQ=a tambien:
<BCI=<ICA=<CIQ=<PAC=b. Sea : H en AC donde IH perpendicular con AC
E en PI / AE perpendicular a PI y F en IQ/ CF perpendicular a IQ
entonces es facil ver que <PAE=b Y <QCF=a ( pues a+b=45)
vemos que los cuadrilateros EAIH y FCIH son trapecios isosceles (pues <HAI=<PIA y <QIC=<HCI)
entonces AE=IH=CF.
trazamos PX y QY perpendiculares a AC , con X e Y en AC
como <PAC=<PAE=b y <ACQ=<QCF=a , entonces AX=AE y CY=CF .
tenemos AX=AE=IH=CF=CY ----> AX=CY
por dato U: es punto medio de AC , como AX=CY entonces U tambien es punto medio de XY . Cool
en el trapecio PXYQ : U y V son puntos medios , entonces UV es paralela a PX y a QY
Por lo tanto UV es perpendicular a AC
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johncuya
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Mensajes : 321
Fecha de inscripción : 10/07/2011
Edad : 30

MensajeTema: Re: Problema 3   Vie Nov 11, 2011 4:17 pm

Gracias por tu solución Jesús, ésta es la mía:

Hay un lema que dice: si D es el punto medio de MN, entonces DI es perpendicular a AC,

demostración:

Si R y S son los pies de las alturas trazadas desde M y N hacia AC respectivamente, Z el pie de la altura trazada desde I hacia BC, W el pie de la altura trazada desde I hacia AB. Entonces RH = RC - HC = BC - ZC = BZ = BW = AB - AW = AS - AH = RH. Por lo tanto la prolongación de HI (H es el pie de la perpendicular trazada desde I hacia AC) pasa por el punto medio de MN.

En el problema, Sea a el vector AP y b el vector CF, entonces como U y V son los puntos medios de AC y PQ, entonces UV = (a+b)/2. Ademàs como AMIP y CNIQ son paralelogramos, entonces MI = a, NI = b, luego DI = (a+b)/2 = UV, entonces como DI es perpendicular a AC, entonces UV también lo es.
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