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 Triángulos en un Plano

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viterick

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MensajeTema: Triángulos en un Plano   Lun Nov 07, 2011 12:27 pm

Sean n (n > 3) puntos de un conjunto S contenido en un plano tales que el área de cualquier triángulo formado con tres puntos de S no es mayor que 1 u2. Pruebe que todos los puntos están contenidos en un triángulo cuya área es menor o igual a 4 u2.

Saludos

Viterick
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johncuya
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MensajeTema: Re: Triángulos en un Plano   Lun Nov 07, 2011 1:03 pm

Hola,

Este es un problema del que comúnmente se llama geometría-combinatoria. Sea ABC el triángulo de mayor área formado por 3 vértices del conjunto S (existe por que S es finito). Luego construyamos el triángulo DEF cuyo triángulo mediano es ABC



Luego, Para cualquier otro punto P de S, el área(ABP) ≤ área(ABC), entonces d(P,AB) ≤ d(C, AB), luego P debe estar en el mismo semiplano que AB respecto a la recta DE. Análogamente para los otro lados. Por lo tanto cualquier otro punto P de S debe estar contenido en DEF., y como área(ABC) ≤ 1, entonces área(DEF) ≤ 4.
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Juan Benal



Mensajes : 25
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MensajeTema: Re: Triángulos en un Plano   Lun Nov 07, 2011 1:40 pm

johncuya escribió:
geometría-combinatoria.

Yo no le vi nada de Combinatoria al problema . Por otro lado solo me atreveria a decir que es un problema no rutinario de geometria euclideana .

Recordar la geometria es dibujo y en donde haya dibujo hay geometria .

De todas formas muy elegante la solucion .
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johncuya
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Edad : 30

MensajeTema: Re: Triángulos en un Plano   Miér Nov 09, 2011 5:13 pm

Bueno, a eso me refería, que no es un problema rutinario de Geometría, aunque definitivamente no es el mejor ejemplo, tal vez éste lo sea.
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