Problema 4

a) Demuestra que existe un polinomio P(x) de coeficientes racionales tal que, para todo entero positivo n, se cumple que:



b) Para dicho polinomio P(x), calcula los valores numéricos de P(0), P(−1) y P(−2).

Para la parte b) Asumiendo que existe dicho polinomio P(x) luego Q(x)=P(x)-P(x-1)-x¹⁰⁰=0 para todos los numeros naturales x mayores que 1 . Luego Q(x) tiene infinitas raices , por tanto Q es nulo . Ahora dando valores a "x" .
Tenemos : P(1)-P(0)-1=P(0)-P(-1)=P(-1)-P(-2)-1=0 . Pero del dato P(1)=1 entonces : P(0)=0 , P(-1)=0 , P(-2)=-1 .

Ahora la parte (a) :
Sabemos que :
1 + 2 + 3 + · · · + n = 1/2 n(n+1) .
1² + 2² + 3² + · · · + n² = 1/6 n(n+1)(2n+1) .
1³ + 2³ + 3³ + · · · + n³ = 1/4 n²(n+1)² .

Por Induccion Fuerte sobre k :
Si existe polinomio : P_t(n) para todos los t < k ; tal que :

.

entonces haciendo una sumatoria de los terminos : (i)^k+1-(i-1)^k+1 desde i=1 hasta i=n tenemos que por el binomio de newton :



Evaluando la sumatoria en el lado izquierdo tenemos : n^k+1
y en el derecho :

Entonces :

y como todo los P_t(n) para t < k son polinomios .

Entonces P_k(n) existe . y viene dado por al formula : (*)