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 Problema 4

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AutorMensaje
johncuya
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Mensajes : 321
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MensajeTema: Problema 4   Lun Nov 07, 2011 12:20 pm

Problema 4

a) Demuestra que existe un polinomio P(x) de coeficientes racionales tal que, para todo entero positivo n, se cumple que:

1100 + 2100 + 3100 + · · · + n100 = P(n).

b) Para dicho polinomio P(x), calcula los valores numéricos de P(0), P(−1) y P(−2).
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Juan Benal



Mensajes : 25
Fecha de inscripción : 02/11/2011

MensajeTema: Re: Problema 4   Lun Nov 07, 2011 11:21 pm


Para la parte b) Asumiendo que existe dicho polinomio P(x) luego Q(x)=P(x)-P(x-1)-x100=0 para todos los numeros naturales x mayores que 1 . Luego Q(x) tiene infinitas raices , por tanto Q es nulo . Ahora dando valores a "x" .
Tenemos : P(1)-P(0)-1=P(0)-P(-1)=P(-1)-P(-2)-1=0 . Pero del dato P(1)=1 entonces : P(0)=0 , P(-1)=0 , P(-2)=-1 .
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Juan Benal



Mensajes : 25
Fecha de inscripción : 02/11/2011

MensajeTema: Re: Problema 4   Mar Nov 08, 2011 12:20 am

Ahora la parte (a) :
Sabemos que :
1 + 2 + 3 + · · · + n = 1/2 n(n+1) .
12 + 22 + 32 + · · · + n2 = 1/6 n(n+1)(2n+1) .
13 + 23 + 33 + · · · + n3 = 1/4 n2(n+1)2 .

Por Induccion Fuerte sobre k :
Si existe polinomio : Pt(n) para todos los t < k ; tal que:

1t + 2t + 3t + · · · + nt = Pt(n)
.

entonces haciendo una sumatoria de los terminos : (i)k+1-(i-1)k+1 desde i=1 hasta i=n tenemos que por el binomio de newton :



Evaluando la sumatoria en el lado izquierdo tenemos : nk+1
y en el derecho :
C(k+1,1)Pk(n)-C(k+1,2)Pk-1(n)+...+(-1)k-1C(k+1,k)P1(n)+(-1)kC(k+1,k+1).n

Entonces :
Pk(n)=1/k+1 . [nk+1 + C(k+1,2)Pk-1(n)-...+(-1)kC(k+1,k)P1(n)+(-1)k+1C(k+1,k+1).n ] ...(*)

y como todo los Pt(n) para t < k son polinomios .

Entonces Pk(n) existe . y viene dado por al formula : (*)
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