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 Soluciones racionales

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AutorMensaje
viterick

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Mensajes : 25
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MensajeTema: Soluciones racionales   Lun Nov 07, 2011 12:14 pm

Les presento el problema siguiente que surgió en aula:

Sabemos que las ecuaciones cuadráticas
x2 + 5x + 6 = 0; x2 + 5x - 6 = 0;
x2 - 5x + 6 = 0; x2 - 5x - 6 = 0;
poseen soluciones racionales; luego nos preguntamos:

¿Para qué valores de los parámetros "a" y "b" las ecuaciones en x:
x2 + ax +b = 0;
x2 - ax +b = 0;
x2 - ax - b = 0;
x2 + ax - b = 0

poseen soluciones racionales?

Saludos

Viterick
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Juan Benal



Mensajes : 25
Fecha de inscripción : 02/11/2011

MensajeTema: Re: Soluciones racionales   Lun Nov 07, 2011 1:29 pm

Por la ecuacion cuadratica : -a es suma de dos numeros racionales luego "a" es racional . Por otro lado si "r" es una raiz racional entonces r2+ ar +b = 0 con ello b=-ar-r2 . Luego la respuesta seria : los pares ordenados de la forma : (a,-ar-r2) donde a y r son racionales .

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Emerson Soriano



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Edad : 29

MensajeTema: Re: Soluciones racionales   Mar Nov 08, 2011 8:29 pm

bueno ese modelo de soluciones satisfacen a los parametros a y b cuando se dice que las ecuaciones: x2-ax+b=0 y x2+ax+b=0

tienen ambas raíces racionales

pero falta que los pares ordenados que pones también tienen que satisfacer que las ecuaciones: x2+ax-b=0 y x2-ax-b=0 también tengan raíces racionales

por ejemplo: si las dos últimas ecuaciones tienen soluciones racionales entonces su discriminante es un racional al cuadrado pero si b=-ar-r2... entonces la discriminante sería en ambas ecuaciones

a2-4ar-4r2 lo cual no siempre es cuadrado perfecto para cualesquiera a y r raciones
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Juan Benal



Mensajes : 25
Fecha de inscripción : 02/11/2011

MensajeTema: Re: Soluciones racionales   Miér Nov 09, 2011 4:33 pm

Emerson Soriano escribió:
bueno ese modelo de soluciones satisfacen a los parametros a y b cuando se dice que las ecuaciones: x2-ax+b=0 y x2+ax+b=0

tienen ambas raíces racionales

pero falta que los pares ordenados que pones también tienen que satisfacer que las ecuaciones: x2+ax-b=0 y x2-ax-b=0 también tengan raíces racionales

por ejemplo: si las dos últimas ecuaciones tienen soluciones racionales entonces su discriminante es un racional al cuadrado pero si b=-ar-r2... entonces la discriminante sería en ambas ecuaciones

a2-4ar-4r2 lo cual no siempre es cuadrado perfecto para cualesquiera a y r raciones

Habia comprendido mal el problema , gracias por la correccion . el problema era mas serio .

Continuando con lo ya avanzado solo bastaria que cumpla : x2+ax-b=0 tenga raices racionales
De la ecuacion general de segundo grado las raices aqui serian : (-a +- SQRT(D) )/2 , con D=a2+4b el discriminante y SQRT indica raiz cuadrada por sus sigla en ingles square root .
Luego para que esta nueva ecuacion tenga tambien raices racionales solo bastaria que SQRT(D) sea racional .

Reemplazando : a2+4(-ar-r2) = a2-4ar-4r2 = w2 , w es racional .
Dividiendo por r tenemos . (a/r)2-4(a/r)-4 = (w/r)2 . en donde a/r = L es racional y W = w/r es tambien racional .

Luego el problema sera hallar todas los L racional para los cuales SQRT( L2-4L-4 ) = W es racional .

entoncescompletando cuadrados y dividiendo or 4 tenemos : ((L-2)/2)2 -2 = (W/2)2 donde (L-2)/2 = m/n es racional luego la nueva ecuacion a resolver es equivalente a : m2-2n2 = p 2 .
con (L-2)/2 = m/n y W/2 = p/n . L= a/r . entonces a = Lr y b = -ar-r2 y reemplazando tenemos :

a = 2r(m+n)/n y b = -r2(2m+3n)/n .

El parametro r no es algo que carateriza la ecuacion . sino los valores de la fraccion m/n .

Podemos hallar algunas soluciones de (m,n,p) de m2 = 2n2 + p 2

m = 3 n = 2 , p = 1 : con r = 1 tenemos la ecuacion :

x2 +5x - 6 = (x+6)(x-1) ; x2 +5x + 6 = (x+2)(x+3) .

Si le damos otro valor a r no tendria mucho sentido pues por ejemplo r = 2 : x2 +10x - 24 = (x+12)(x-2)
x2 +10x + 24 = (x+4)(x+6) .

solo habriamos duplicado las raices pero la forma de la ecuacion seria la misma . Si se me entendio lo que quize decir .

Ahora seria interesante conseguir otro par de valores de m y n :

Por ejemplo m = 9 , n = 4 , p = 7 y haciendo r = 2 :
x2 +13x - 30 = (x+15)(x-2) ; x2 +13x + 30 = (x+10)(x+3)

Por ejemplo m = 11 , n = 6 , p = 7 y haciendo r = 3 :
x2 +17x - 60 = (x+20)(x-3) ; x2 +17x + 60 = (x+12)(x+5)

Por ejemplo m = 17 , n = 12 , p = 1 y haciendo r = 6 :
x2 +29x - 210 = (x+35)(x-6) ; x2 +29x + 210 = (x+14)(x+15)

Por ejemplo m = 19 , n = 6 , p = 17 y haciendo r = 3 :
x2 +25x - 84 = (x+28)(x-3) ; x2 +25x + 84 = (x+21)(x+4)

Y asi sucesivamente :

El secreto esta en resolver la ecuacion : (m+p)(m-p) = 2n2 . Yo lo hago para casos particulares .










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