Olimpiadas Matemáticas en el Perú
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 Problema 4

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AutorMensaje
johncuya
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Mensajes : 321
Fecha de inscripción : 10/07/2011
Edad : 30

MensajeTema: Problema 4   Lun Nov 07, 2011 12:08 pm

Problema 4

Cada casilla de un tablero de 2011 × 2011 se pinta de rojo o azul. ¿Será posible pintarlas de modo que cada casilla roja tenga exactamente tres casillas vecinas azules, y que cada casilla azul tenga exactamente una casilla vecina roja?
Aclaración: dos casillas son vecinas si tienen un lado en común.
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Emerson Soriano



Mensajes : 55
Fecha de inscripción : 26/10/2011
Edad : 29

MensajeTema: Re: Problema 4   Sáb Dic 10, 2011 9:39 pm

Sean A la cantidad de casillas azules y sea R la cantidad de casillas rojas... Entonces A+R=20112 .... Y además dos casillas rojas cualesquiera jamás tienen una casilla vecina azul en común... Ya que si la tuvieran dicha casilla azul tendría almenos dos casillas rojas vecinas lo cual es falso por dato... Esto nos dice que como cada casilla roja tienen exactamente 3 casillas vecinas azules entonces reuniendo todas esas casillas azules vecinas en las R rojas se tendría 3R azules que por cierto no se repite ni una.... Lo cual se tiene que 3R <= A , pero si 3R < A entonces existe alguna casilla azul que no es vecina de ninguna roja lo cual contradice ya que toda casilla azul tiene exactamente una casilla roja vecina, y de esto concluimos que 3R=A.... Y reemplazando en el total de casillas sería 4R=20112 lo que tambien es falso ya que 20112 no es par...
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