Olimpiadas Matemáticas en el Perú
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 Examen Cono Sur Bolivia 2011

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johncuya
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MensajeTema: Examen Cono Sur Bolivia 2011   Lun Nov 07, 2011 2:05 am

Prueba del Día 1

Problema 1

Encontrar todas las ternas de enteros positivos (x, y, z) tales que x2 + y2 + z2 = 411.

Problema 2

En un pizarrón están escritos los números enteros desde el 1 hasta 4n inclusive. En cada paso, Pedro borra dos números del pizarrón, a y b, y escribe el número ab/(2a2 + 2b2)1/2. Pedro repite el procedimiento hasta que queda un solo número. Demostrar que este número será menor que 1/n, sin importar qué números haya elegido Pedro en cada paso.


Problema 3 (Propuesto por Perú)

Sea ABC un triángulo equilátero. P es un punto interior tal que la raíz cuadrada de la distancia de P hacia uno de los lados es igual a suma de las raíces cuadradas de las distancias de P hacia los otros dos lados. Encontrar el lugar geométrico del punto P.

Prueba del Día 2

Problema 4 (Propuesto por Perú)

Decimos que un número de 4 cifras abcd es equilibrado si a + b = c + d. Encontrar todos los números equilibrados de cuatro cifras que se pueden expresar como la suma de dos números capicúas.

Problema 5 (Propuesto por Perú)

Sea ABC un triángulo y D un punto del lado AC. Si <CBD - <ABD = 60°, <BDC = 30° y además AB.BC = BD2, encontrar las medidas de los ángulos del triángulo ABC.

Problema 6

Algunas casillas de un tablero de Q de (2n + 1) x (2n + 1) se colorean de negro, de modo que todo el tablero de 2 x 2 de Q contiene a lo sumo 2 casillas negras. Halla el máximo número de casillas negras que puede tener el tablero.
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