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 PROBLEMA 1: tercer examen selectivo perú - cono sur 2011

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Emerson Soriano



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MensajeTema: PROBLEMA 1: tercer examen selectivo perú - cono sur 2011   Sáb Nov 05, 2011 1:36 pm

Un entero positivo es llamado digital si dicho número es el producto de dígitos de algun entero positivo. por ejemplo 28 es digital porque es igual al producto de los dígitos del número 147.

Sean n1, n2, ..., nk números digitales diferentes. Demuestre que

1/n1 + 1/n2 + ... + 1/nk < 35/8
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ands



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MensajeTema: Re: PROBLEMA 1: tercer examen selectivo perú - cono sur 2011   Lun Nov 21, 2011 3:02 pm

35/8= (1+1/2+1/4+1/8..)(1+1/3+1/9..)(1+1/5+1/25..)(1+1/7+1/49..)= sumatoria de las inversas de todos lo numeros que tienen como divisores primos solo a 2,3,5y7. (todos los numeros digitales)
como k es finito :B : 1/n1 + 1/n2 + ... + 1/nk < 35/8
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Emerson Soriano



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MensajeTema: Re: PROBLEMA 1: tercer examen selectivo perú - cono sur 2011   Lun Nov 21, 2011 7:27 pm

pero donde usas el hecho que los números digitales sean todos distintos???... por ejemplo si existen 200 números dígitales que contienen exactamente en su descompsición canónica a 2120...
si vez en el productos de las sumas infinitas que pones el 2120 solo aparece una sola vez... como justificarias ese hecho?.... la idea esta bién, también se me ocurrio eso.... pero hay muchos vacios en tu justificación....
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ands



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MensajeTema: Re: PROBLEMA 1: tercer examen selectivo perú - cono sur 2011   Lun Nov 21, 2011 11:21 pm

Creo que no as entendido la idea bueno, veamos en este ejemplo : (1+1/2+1/4)(1+1/3+1/9)=1+1/2+1/2x3+1/2x9+1/4
+1/4x3+1/4x9. en el producto :(1+1/2+1/4+1/8..)(1+1/3+1/9..)(1+1/5+1/25..)(1+1/7+1/49..) seria igual aparecerian las inversas de todos los 2^{120}k donde k es digital :B no solo una vez . u.u
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Emerson Soriano



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MensajeTema: Re: PROBLEMA 1: tercer examen selectivo perú - cono sur 2011   Mar Nov 22, 2011 2:04 am

Si entiendo amigo, solo que hasta ahora no veo donde usas que los números digitales son distintos... Y no se trata solo de mencionar lo que nos parece cierto sino justificarlo y
ajustar un poco mas los detalles...

además esto no es cierto: 35/8= (1+1/2+1/4+1/8..)(1+1/3+1/9..)(1+1/5+1/25..)(1+1/7+1/49..)

se sabe que 1+1/2+1/4+... tiende a 2 mas no es.... la idea es que tenemos que tener en cuenta que es menor que 2

se trata de probar que S= 1+1/2+1/4+...+1/2n siempre es menor que 2 para cualquier n

pues S+1/2n=1+1/2+1/4+...+1/2n+1/2n y la suma de los últimos es 1/2n-1

y quedaría: S+1/2n=1+1/2+1/4+...+1/2n-1+1/2n-1

y asi cogiendo los dos últimos seguidamente nos queda al final:

S+1/2n=1+1/2+1/2=2 por lo tanto tenemos que S=2-1/2n

y eso implica que S es menor que 2 para todo n....

asi que por ahi debes tener mucho cuidado::::
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luca-97



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MensajeTema: Re: PROBLEMA 1: tercer examen selectivo perú - cono sur 2011   Mar Nov 22, 2011 10:23 pm

Bueno Jesus tiene razon pues cada numero DIGITAL tiene una unica descomposicion canonica y esto implica que cada numero digital que se esta cogiendo aparece a lo mas una vez en el producto (1+1/2+1/4+....)(1+1/3+1/9+....)(..) dado que si hay dos numeros digitales iguales entonces tendrian exactamente la misma descomposicion canonica y esto implicaria que son iguales y de ahi se sigue la idea ya mostrada para llegar a la soucion Smile
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Emerson Soriano



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MensajeTema: Re: PROBLEMA 1: tercer examen selectivo perú - cono sur 2011   Miér Nov 23, 2011 3:50 pm

Ya comprendí a que te refieres =)

Otra solución :

Si N es un numero digital entonces N=2x.3y.5z.7w......... Para algunos x,y,z,w enteros no negativos

Sea S la suma de las inversas de los divisóres...

Entonces S=SD(N)/N. ... Donde SD(N) es la suma de divisóres de N... Ósea

Como SD(N)=(2x+1-1)(3y+1-1)(5z+1-1)(7w+1-1)

Y dividiendo SD(N) entre N se tendría que

(2-1/2x)(3-1/3y)(5-1/5z(7-1/7w)/[(2-1)(3-1)(5-1)(7-1)]

Y se esto se tiene que SD(N)/N < (2.3.5.7)/(1.2.4.6) = 35/8

Ósea la suma de la inversa de sus divisóres de cualquier numero digital es menor que 35/8


Por otro lado si tenemos ' números digitales distintos entonces multiplicando esos números tenemos otro numero digital entonces la suma de las inversas de los k números digitales iniciales es menor o igual a la suma de las inversas de los divisóres del numero que resulto de multiplicar los k números digitales y este ultimo es menor que 35/8 .... Lo cual implica que la suma de las inversas de los k numeros digitales es menor que 35/8
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Emerson Soriano



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MensajeTema: Re: PROBLEMA 1: tercer examen selectivo perú - cono sur 2011   Miér Nov 23, 2011 3:52 pm

Ya comprendí a que te refieres =)

Otra solución :

Si N es un numero digital entonces N=2x.3y.5z.7w......... Para algunos x,y,z,w enteros no negativos

Sea S la suma de las inversas de los divisóres...

Entonces S=SD(N)/N. ... Donde SD(N) es la suma de divisóres de N... Ósea

Como SD(N)=(2x+1-1)(3y+1-1)(5z+1-1)(7w+1-1)/[(2-1)(3-1)(5-1)(7-1)

Y dividiendo SD(N) entre N se tendría que

(2-1/2x)(3-1/3y)(5-1/5z(7-1/7w)/[(2-1)(3-1)(5-1)(7-1)]

Y se esto se tiene que SD(N)/N < (2.3.5.7)/(1.2.4.6) = 35/8

Ósea la suma de la inversa de sus divisóres de cualquier numero digital es menor que 35/8


Por otro lado si tenemos k números digitales distintos entonces multiplicando esos números tenemos otro numero digital entonces la suma de las inversas de los k números digitales iniciales es menor o igual a la suma de las inversas de los divisóres del numero que resulto de multiplicar los k números digitales y este ultimo es menor que 35/8 .... Lo cual implica que la suma de las inversas de los k numeros digitales es menor que 35/8
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ands



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MensajeTema: Re: PROBLEMA 1: tercer examen selectivo perú - cono sur 2011   Miér Nov 23, 2011 5:16 pm

D: si me falto explicar un poco :3 no me gusta escribir mucho :B
si hay muchas soluciones en el examen lo hize de otra forma incluso :-)
y si se que 1+1/2+1/4+.. no es 2 , tiende a 2 . pero no me salia el simbolo s:
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MensajeTema: Re: PROBLEMA 1: tercer examen selectivo perú - cono sur 2011   

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