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 PROBLEMA 2: segundo examen selectivo perú - cono sur 2011

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Emerson Soriano



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MensajeTema: PROBLEMA 2: segundo examen selectivo perú - cono sur 2011   Sáb Nov 05, 2011 1:26 pm

Determinar todos loe enteros positivos a para los cuales existen los enteros no negativos m,n,k tales que al escribir la representación decimal de an a la izquierda de la representación decimal de am (sin dejar espacio) obtenemos la representación decimal de ak.

ejemplo: Si escribimos la representación de 62 a la izquierda de la representción decimal de 63 obtenemos 36216
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ROZ



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MensajeTema: Re: PROBLEMA 2: segundo examen selectivo perú - cono sur 2011   Mar Nov 08, 2011 9:43 pm

Podemos representar el problema de la siguiente manera
an.10C(am)+am=ak

Como el lado izquierdo es igual a ak , debe ser divisible por potencias de a menores, debe ser divisible por an,para ello am debe ser divisible por an, para eso debe cumplirse que m≥n.Además a no es 1, pues quedaría 11=1.

an.10C(am)+am=ak
10C(am)=ak-n-am-n ...(I)
am-n=ak-n-10C(am)
para que la parte derecha sea potencia de a,ak-n≤2. Entonces C(ak-n)=C(am)+1.
Lamaremos ai a la potencia de a tal que am.ai=ak-n(i no puede ser 0).De donde am+n+i=ak ...(II)

Usando : 10C(x)-1≤x<10C(x):
10[sub]C(am)-1
m≤10C(am)
y reemplazando por(I):
amk-n-am-n≤10.am
Multiplicando por an y dividiendo por am:
ann+i≤10an. Para que esto se cumpla a≤10.








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ROZ



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MensajeTema: Re: PROBLEMA 2: segundo examen selectivo perú - cono sur 2011   Mar Nov 08, 2011 10:36 pm

SIGUIENDO CON EL PROCEDIMIENTO
Dividamos el problema:
PRIMER CASO: m=n
am.(10C(a[sup]m)[/sup]+1)=am+n+i
10C(a[sup]m)[/sup]+1=an+i
SIguiendo los criterios de divisibilidad el unico valor posible de a es 7 ,cualquier potencia de 7 deja resto 1 cuando se divide por 3 ,pero 10C(a[sup]m)[/sup]+1 dejo resto 2 al ser dividido entre 3.

SEGUNDO CASO: m > n (ESTA parte creo que esta mal)
an.10C(a[sup]m)[/sup]+am=am+n+i
10C(a[sup]m)[/sup]=am+i-am-n
10C(a[sup]m)[/sup]=am+i-am-n
10C(a[sup]m)[/sup]=am(ai-1/an)
Cualquier valor para a no cumple esta condicion.

NOTa: HUBO UN ERROR ENALGUNAS PARTES DEVERÏA DE DECIR aC(a[sup]m[/sup]) en vez de aC(am)
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Juan Benal



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MensajeTema: Re: PROBLEMA 2: segundo examen selectivo perú - cono sur 2011   Miér Nov 09, 2011 2:46 pm

ROZ escribió:
Podemos representar el problema de la siguiente manera
an.10C(am)+am=ak

Como el lado izquierdo es igual a ak , debe ser divisible por potencias de a menores, debe ser divisible por an,para ello am debe ser divisible por an, para eso debe cumplirse que m≥n.Además a no es 1, pues quedaría 11=1.

an.10C(am)+am=ak
10C(am)=ak-n-am-n ...(I)
am-n=ak-n-10C(am)
para que la parte derecha sea potencia de a,ak-n≤2. Entonces C(ak-n)=C(am)+1.
Lamaremos ai a la potencia de a tal que am.ai=ak-n(i no puede ser 0).De donde am+n+i=ak ...(II)

Usando : 10C(x)-1≤x<10C(x):
10[sub]C(am)-1
m≤10C(am)
y reemplazando por(I):
amk-n-am-n≤10.am
Multiplicando por an y dividiendo por am:
ann+i≤10an. Para que esto se cumpla a≤10.

Resumiendo las ideas mostradas y haciendo algunos cambios :

Es basico tener en cuenta que a>1 ( puesto que 11 no es igual a 1 ) y haciendo la notacion : C(x) indica la cantidad de cifras del numero x .

Empezemos por la ecuacion que plantea el problema :

am+an.10C=ak ; en donde C=C(am) es positivo ........(*)

teniendo en cuenta la siguiente desigualdad : 10C(x)-1 ≤ x < 10C(x) ........(**)

entonces al aplicar el lado derecho de la desigualdad (**) en la ecuacion (*) tenemos :

ak>am+an.am>am+n .

luego k>m+n entonces : 1 ≤ k-m-n ....... (P1)

y al aplicar el lado izquierdo de la desigualdad (**) en la ecuacion (*) tenemos :

ak ≤ am+10.an.am luego dividiendo entre am+n :

ak-m-n ≤ a-n+10 ≤ 11 ( puesto que n puede ser cero ) , entonces : ak-m-n ≤ 11 ...... (P2)

De (P1) y (P2) : a ≤ ak-m-n ≤ 11 luego : a ≤ 11 .


Última edición por Juan Benal Catre el Miér Nov 09, 2011 11:44 pm, editado 6 veces
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Juan Benal



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MensajeTema: Re: PROBLEMA 2: segundo examen selectivo perú - cono sur 2011   Miér Nov 09, 2011 3:15 pm

ROZ escribió:
SIGUIENDO CON EL PROCEDIMIENTO
Dividamos el problema:
PRIMER CASO: m=n
am.(10C(a[sup]m)[/sup]+1)=am+n+i
10C(a[sup]m)[/sup]+1=an+i
SIguiendo los criterios de divisibilidad el unico valor posible de a es 7 ,cualquier potencia de 7 deja resto 1 cuando se divide por 3 ,pero 10C(a[sup]m)[/sup]+1 dejo resto 2 al ser dividido entre 3.

SEGUNDO CASO: m > n (ESTA parte creo que esta mal)
an.10C(a[sup]m)[/sup]+am=am+n+i
10C(a[sup]m)[/sup]=am+i-am-n
10C(a[sup]m)[/sup]=am+i-am-n
10C(a[sup]m)[/sup]=am(ai-1/an)
Cualquier valor para a no cumple esta condicion.

NOTa: HUBO UN ERROR ENALGUNAS PARTES DEVERÏA DE DECIR aC(a[sup]m[/sup]) en vez de aC(am)

Efectivamente y siguiendo la notacion C=C(am) tenemos que : am+an.10C=ak .

Dividiendo entre an tenemos : am-n=ak-n-10C ....(***)
como el termino del lado derecho es entero entonces el termino del lado izquierdo tambien es entero luego n ≤ m . Y hacemos los dos siguientes casos :

Caso I (m = n ) : Aqui la ecuacion (***) se reduce a : 1 + 10C = ak-n . en donde como 10C+1 no es divisible ni por 2 ni por 3 ni por 5 entonces los unicos valores posibles para a , (1 < a ≤ 11 ) son el 7 y el 11 .

Subcaso I.1 : ( a = 7 ) Reemplazando : 1 + 10C = 7k-n en donde al aplicar el criterio de resto por 3 . en el lado izquierdo el resto es 2 y en el derecho el resto es 1 lo cual es absurdo

Subcaso I.2 : ( a = 11 ) Tenemos solucion para m = n = 0 y k = 1 .

Caso II (m > n ) : Aqui la ecuacion (***) se reduce a : am-n+10C = ak-n en donde como k-n y m-n son positivos , entonces 10C es divisible por a . Luego los unicos valores para a ; (1 < a ≤ 11) son : 2,4,8,5,10 .

Subcaso II.1 : ( a = 2 , 4 , 8 ) como a es una potencia de 2 entonces a=2t . con t=1,2,3 . reemplazando en (***) tenemos :

10C = 2t(m-n).(2t(k-m) - 1 )

Luego como (2t(k-m) - 1 ) es impar entonces : 2t(m-n) = 2C y 2t(k-m) - 1 = 5C .

haciendo D = t(k-m) tenemos la ecuacion : 2D = 5C + 1 . en donde le termino de la derecha es multiplo de 4 mas 2 luego 2D solo es multiplo de 4 mas 2 cuando D = 1 . seguidamente C = 0 y esto es absurdo .

Subcaso II.2 : ( a=10 ) Reemlazando en (***) tenemos : 10m-n + 10C = 10k-n . Vemos que : 10C < 10k-n luego 0 < k-n-C . ahora dividiendo entre 10C tenemos : 10m-n-C + 1 = 10k-n-C y como 10 ≤ 10k-n-C entonces 9 ≤ 10m-n-C luego m-n-C > 0 y con ello 1 = 10k-n-C - 10m-n-C es divisible por 10 lo cual es absurdo .

Subcaso II.3 : ( a=5 ) Tenemos solucion para m = 2 , n = 0 , k = 3 .

Respuesta : los valores de a son 5 y 11 .



Última edición por Juan Benalcatre el Dom Nov 13, 2011 5:27 pm, editado 1 vez
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Emerson Soriano



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MensajeTema: Re: PROBLEMA 2: segundo examen selectivo perú - cono sur 2011   Jue Nov 10, 2011 1:24 am

sea h la cantidad de cifras de am .... entonces an.10h+am=ak ....(Q)


caso I: si m <= n entonces se tiene que an-m.10h+1=ak-m ....

entonces pasando a restar y factorizando tenemos que: 1=an-m.(ak-n-10h) ... pero como a es mayor que 1 entonces la única opción es que m=n, por lo tanto ak-m=10h+1

por otro lado tenemos que 10h-1 <= an < 10h
ya que m=n, ahora invertimos y tenemos:
(1/10h) < (1/an) <= (1/ah-1) y multiplicando por ak-n a ambos miembros tenemos que

(10h+1)/(10h) < ak-2n <= (10h+1)/(10h-1) ... y de esto tenemos que

1+10-h < ak-2n <= 10+101-h

lo cual se deduce que ak-2n podría ser 2,3,4,5,6,7,8,9,10

pero obviamente los valores que se descartan son todos los pares y el 5 ya que ak-n=10h+1... pero además 10h+1=2(mod 3) asi que también descartamos el 3 y el 9 ... quedando como posible valor el 7 pero.... eso implocaría que a=7 pero si es se cumple entonces 7k-n=10h+1 .... pero 7k-n=1 (mod 3) y 10h+1=2(mod 3) lo cual es una contradicción... entonces este caso no tiene solución al problema....



caso II: si m > n entonces en (Q) tenemos que:

10h+am-n=ak-n... reduciendo tenemos que:

10h=am-n.(ak-n-1) pero am-n y ak-n-1 son PESI entonces ambos son en algun orden 2h y 5h ...


a) si am-n=5h y ak-n-1=2h

entonces a es potencia de 5, entonces a=5r para algun entero positivo r y .... entonces en ak-n-1=2h tenemos que

ak-n-1=5d-1 para algún entero positivo d... por lo tanto 5d-1=2h y de esto se deduce que d es impar ya que si fuera par 5d-1=0(mod 3) y eso no puede ser...

vemos que si d=1 entonces h=2 ... pero si d es mayor o igual a 2 entonces tenemos que sd-1=(5-1)(5d-1+...+1)=2h

pero 5d-1+...+1 es suma de impares y aparte la cantidad de sumandos es impar por lo tanto dicha suma es impar y eso tampoco puede suceder....

asi que para este caso a) tenemos que d=1 cumple con h=2, osea ak-n=4 y am-n=25 y como am tiene h=2 cifras entonces a=5, n=0,m=2 y k=3


caso b) si am-n=2h y ak-m-1=5h.... y de esto se deduce que a es potencia de 2 osea a=2z para algún entero z, y de esto deducimos que ak-m=2p ñpara algún entero p.... por lo tanto se tendría que:

2p=5h+1 pero 5h+1=2(mod 4) lo cual solo satisface para p=1 y h=0 ... pero h no puede ser 0 ya que es la cantidad de cifras de am.... lo cual este caso no cumple



asi llegamos a la conclusión de que los únicos valores que tenemos en este problema es: a=5, n=0, m=2, k=3
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Juan Benal



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MensajeTema: Re: PROBLEMA 2: segundo examen selectivo perú - cono sur 2011   Dom Nov 13, 2011 5:41 pm

Emerson Soriano escribió:


caso I: si m <= n entonces se tiene que an-m.10h+1=ak-m ....

entonces pasando a restar y factorizando tenemos que: 1=an-m.(ak-n-10h) ... pero como a es mayor que 1 entonces la única opción es que m=n, por lo tanto ak-m=10h+1

por otro lado tenemos que 10h-1 <= an < 10h
ya que m=n, ahora invertimos y tenemos:
(1/10h) < (1/an) <= (1/ah-1) y multiplicando por ak-n a ambos miembros tenemos que

(10h+1)/(10h) < ak-2n <= (10h+1)/(10h-1) ... y de esto tenemos que

1+10-h < ak-2n <= 10+101-h

lo cual se deduce que ak-2n podría ser 2,3,4,5,6,7,8,9,10

pero obviamente los valores que se descartan son todos los pares y el 5 ya que ak-n=10h+1... pero además 10h+1=2(mod 3) asi que también descartamos el 3 y el 9 ... quedando como posible valor el 7 pero.... eso implocaría que a=7 pero si es se cumple entonces 7k-n=10h+1 .... pero 7k-n=1 (mod 3) y 10h+1=2(mod 3) lo cual es una contradicción... entonces este caso no tiene solución al problema....


Dado que en mi respuesta a=11 es una solucion y que cumple con m=n=0 entonces deberia tener un error en el
caso I ( m =< n ) .

Y el error esta en la parte que resalte con negrita .

1+10-h < ak-2n <= 10+101-h

como h es mayor o igual que 1 . entonces 101-h =< 1 luego ak-2n <= 10+101-h =< 11 . con ello a puede ser 11 .


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Emerson Soriano



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MensajeTema: Re: PROBLEMA 2: segundo examen selectivo perú - cono sur 2011   Dom Nov 13, 2011 7:50 pm

Gracias por la corrección ... No me había dadoo cuenta. Jeee....
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ands



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MensajeTema: Re: PROBLEMA 2: segundo examen selectivo perú - cono sur 2011   Miér Nov 23, 2011 5:21 pm

problema de muchos casos u.u
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ands



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MensajeTema: Re: PROBLEMA 2: segundo examen selectivo perú - cono sur 2011   Miér Nov 23, 2011 5:25 pm

y no es problema 2 es problema 3 (:
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Emerson Soriano



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MensajeTema: Re: PROBLEMA 2: segundo examen selectivo perú - cono sur 2011   Miér Nov 23, 2011 9:36 pm

si men me equivoque Very Happy jeee....

pasame tu correo o fc jesus...
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ands



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MensajeTema: Re: PROBLEMA 2: segundo examen selectivo perú - cono sur 2011   Miér Nov 23, 2011 10:32 pm

xdd D: mi msn es "jsus_125@hotmail.com" de hay lo buscas x face pis XD
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Juan Benal



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MensajeTema: Re: PROBLEMA 2: segundo examen selectivo perú - cono sur 2011   Jue Nov 24, 2011 11:59 am

Emerson Soriano escribió:


caso II: si m > n entonces en (Q) tenemos que:

10h+am-n=ak-n... reduciendo tenemos que:

10h=am-n.(ak-n-1) pero am-n y ak-n-1 son PESI entonces ambos son en algun orden 2h y 5h ...

a) si am-n=5h y ak-n-1=2h

entonces a es potencia de 5, entonces a=5r para algun entero positivo r y .... entonces en ak-n-1=2h tenemos que

ak-n-1=5d-1 para algún entero positivo d... por lo tanto 5d-1=2h y de esto se deduce que d es impar ya que si fuera par 5d-1=0(mod 3) y eso no puede ser...

vemos que si d=1 entonces h=2 ... pero si d es mayor o igual a 2 entonces tenemos que sd-1=(5-1)(5d-1+...+1)=2h

pero 5d-1+...+1 es suma de impares y aparte la cantidad de sumandos es impar por lo tanto dicha suma es impar y eso tampoco puede suceder....

asi que para este caso a) tenemos que d=1 cumple con h=2, osea ak-n=4 y am-n=25 y como am tiene h=2 cifras entonces a=5, n=0,m=2 y k=3


caso b) si am-n=2h y ak-m-1=5h.... y de esto se deduce que a es potencia de 2 osea a=2z para algún entero z, y de esto deducimos que ak-m=2p ñpara algún entero p.... por lo tanto se tendría que:

2p=5h+1 pero 5h+1=2(mod 4) lo cual solo satisface para p=1 y h=0 ... pero h no puede ser 0 ya que es la cantidad de cifras de am.... lo cual este caso no cumple



asi llegamos a la conclusión de que los únicos valores que tenemos en este problema es: a=5, n=0, m=2, k=3

Falto el caso : 10h y 1 que tambien son coprimos y viceversa . Osea :

c) si am-n=10h y ak-n-1=1
d) si am-n=1 y ak-n-1=10h
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PROBLEMA 2: segundo examen selectivo perú - cono sur 2011

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