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 PROBLEMA 1: primer examen selectivo perú - cono sur 2011

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Emerson Soriano



Mensajes : 55
Fecha de inscripción : 26/10/2011
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MensajeTema: PROBLEMA 1: primer examen selectivo perú - cono sur 2011   Sáb Nov 05, 2011 1:20 pm

Halle todos los enteros positivos n para los cuales se cumple que:

mcd(n,1) + mcd(n,2) + ... + mcd(n,n) = 3n - 3
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Emerson Soriano



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Fecha de inscripción : 26/10/2011
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MensajeTema: Re: PROBLEMA 1: primer examen selectivo perú - cono sur 2011   Sáb Dic 03, 2011 7:55 pm

Si n es impar entonces.... mcd(n,k) es impar para todo k=1,2,...,n , entonces la suma en el miembro izquierdo es impar, pero viendo el miembro derecho 3n-3 es par, asi que llegamos a un absurdo


si n es par entonces vemos que en el miembro izquierdo hay n sumandos, y por otro lado entre 1 y n, hay (n/2) números pares y (n/2) números impares



por otro lado como n es par tiene dos posibilidades, n=0(mod 4) ó n=2(mod 4),

supongamos que n=0 (mod 4), entonces n=4h y como hay (n/2) numeros pares entre 1 y n, el mcd de n con cada uno de ello serìa par, y como entre 1 y n hay (n/2) números impares el mcd de n con cada uno de ello sería impar, y sumandos todos ellos sería: suma de (n/2) pares y (n/2) impares, y como n=0(mod 4) en ambos casos es par, asi que la suma de todos los sumandos es par asi que es absurdo ya que en el miembro derecho tenemos que dicha suma es 3n-3 que es impar.

supongamos que n=2(mod4), vemos que n=2 satisface el problema, pero si n es mayor que 2, entonces existe un d entero positivo tal que n=4d+2. analizando dos casos tenemos: mcd(n,n)=4d+2 y mcd(n;n/2)=n/2=2k+1 y la suma de estos dos términos sería 6k+3, pero en el miembro izquierdo tenemos que 3n-3 equivale a 12d+3, quiere decir que la suma de los (n-2) números que faltan por sumar es igual a 6k

por otro lado, en los (n-2)=4d nos damos cuenta que hay d números pares y d números impares entre 1 y n, asi que si x es impar entonces mcd(n,x)>=1 y si x es par entonces mcd(n,x) >=2 por lo tanto al sumar los (n-2) sumandos tenemos que dicha suma es mayor o igual a 6d, asi que la ùnica posibilidad esque mcd(n,x)=1 cuando x es impar, y mcd(n,x)=2 cuando x es par

quiere decir que n solo tiene 4 divisores 1; 2; n/2=2d+1 ; n=4d+2, entonces n puede ser un cubo perfecto o n se puede expresar como 2p, donde p es un primo impar...

si n fuera un cubo perfecto, también tendríamos que tener en cuenta que n es par asi qe 2 es divisor lo cual indica que 4 es divisor y esto dice que n=0(mod 4) lo cual es absurdo.... asi que la ùnica posibilidad esque n=2p, para cualquier p primo impar

en conslusión los únicos valores para n que satisfacen es 2 y 2p, cuando p es un número primo impar.

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