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 Problema 1

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Emerson Soriano



Mensajes : 55
Fecha de inscripción : 26/10/2011
Edad : 29

MensajeTema: Problema 1   Mar Nov 01, 2011 5:49 pm

Para cada entero positivo n, sea c(n) la cantidad de dígitos de n. Sea A un conjunto de números enteros positivos con la siguiente propiedad: si a y b son dos elementos distintos de A, entonces c(a+b)+2 < c(a)+c(b), Halle la mayor cantidad de elementos que puede tener A.
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Emerson Soriano



Mensajes : 55
Fecha de inscripción : 26/10/2011
Edad : 29

MensajeTema: Re: Problema 1   Miér Nov 02, 2011 3:46 am

Hola a todos esta es mi solución:

Si a > b entonces se cumple que. C(a+b) es mayor o igual a c(a)+1. Ya que se tendría que a es mayor o igual a b+1. Así que a+b es menor o igual a 2.a-1 y como 2.a-1 < 10.a se tiene que a+b no pasa de c(a)+1 cifras. Y con este resultado. Resolveremos el problema

Si a,b son dos elementos distintos de A con a > b se tiene que C(a)+3 >= c(a+b)+2 > c(a)+c(b) entonces c(b) < 3. Lo cual implica que c(b)=1 o. C(b)=2. Lo que quiere decir que entre dos elementos distintos de A hay siempre uno de ellos que es de 1 cifra o dos ....

Si a,b son cada una de 1 cifra, satisface la desigualdad del pronlema lo cual indica que los números 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Están en A

Si hubiera un numero de dos cifras xy al analizarlo con cada uno de los números de 1 cifra nos damos cuenta que satisface....la idea es si hubieran mas de 1 número de dos cifras... Al reemplazar en la desigualdad tenemos que la suma de dos cualesquiera números de dos cifras del conjunto A tienen que tener 3 cifras... Y para analizar formamos los siguientes conjuntos M={10,11,12,...,49} y. N={50,51,...,99} demostraremos que no pueden haber mas de 50 números de 2 cifras en el conjunto A. Si bien es cierto. No pueden haber dos o mas números del conjunto M ya que la suma de cualesquiera dos de ellos no es de tres cifras... Ósea que no puede haber mas de 51 ya que si lo hubiera entonces se tomarían por lo menos dos elementos de M. Supongamos que hay 51 entonces la única opción es coger un elemento de M y los 50 elementos de N. Lo que no se podría ya que al coger a 50 q es elemento de A y algún elemento de M no llegaría a tener 3 cifras... Por lo tanto solo pueden haber 50 números de dos cifras q en este caso son los elementos de N

Por otro lado... Cualquier numero de mas de 2 cifras (digamos el número h) al analizarlo con un cualquier numero de 1 cifra mediante la desigualdad cumple.... Pero analizando xon los números de 2 cifras ... Tenemos que la suma de h+t es un numero de r+1 cifras siendo t un elemento de A que tiene 2 cifras... (I)

Pero no pueden haber mas de 1 número de más de dos cifras por lo ya demostrado así que solo nos queda por elegir un numero mas que cumpa (I) que en este caso elegimos al 951 y con esto estamos opteniendo el mayor valor posible de la cantidad de elementos de A que es 60.
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