Olimpiadas Matemáticas en el Perú
Olimpiadas Matemáticas en el Perú

Comentarios y discusión de problemas. Soluciones de la ONEM.
 
ÍndiceÍndice  CalendarioCalendario  FAQFAQ  BuscarBuscar  MiembrosMiembros  Grupos de UsuariosGrupos de Usuarios  RegistrarseRegistrarse  Conectarse  Editor de ecuaciones de LatexEditor de ecuaciones de Latex  
El foro estará bloqueado por inactividad hasta nuevo aviso. Pueden ver el contenido pero no se puede comentar ni agregar nuevos miembros, gracias. John Cuya: johncmasb@gmail.com

Comparte | 
 

 Problema 7

Ver el tema anterior Ver el tema siguiente Ir abajo 
AutorMensaje
Emerson Soriano



Mensajes : 55
Fecha de inscripción : 26/10/2011
Edad : 29

MensajeTema: Problema 7   Dom Oct 30, 2011 12:42 pm

Sea N=abc un entero positivo de 3 dígitos distintos entre sí, divisible por a+b+c pero no por 3, Determina la cantidad de valores

diferentes que puede tomar: N/(a+b+c)
Volver arriba Ir abajo
Ver perfil de usuario
Emerson Soriano



Mensajes : 55
Fecha de inscripción : 26/10/2011
Edad : 29

MensajeTema: Re: Problema 7   Dom Oct 30, 2011 1:18 pm

Hola amigos peruanos.... aquí va mi solución a este problema:




N=(a+b+c).m, para algún entero positivo m, entonces 100.a+10.b+c=(a+b+c).m y de esto se tiene que 9.(11a+b)=(a+b+c).(m-1) lo cual indica que m=9.k+1 para algún entero k....... reemplazando queda: 11.a+b=(a+b+c).k



sabemos que k no puede pasar de 11, ya que si k es mayor o igual a 12 se tendría que: 11.a+b es mayor o igual a 12.a+12.b+12.c y esto implica que a+11.b+12.c es menor o igual a cero, y lo único es que a=b=c=0 lo cual no es correcto

asi que k es menor o igual a 11, ahora si hacemos c=0 se tendría: 11.a+b=(a+b).k .... (I) osea (11-k).a=(k-1).b

en consecuencia

a=(k-1).d y b=(11-k).d para algún entero positivo d, sumando ambas equivalencias tenemos que: a+b=10.d, pero a+b es menor o igual a 18, asi que la única opción es a+b=10 con d=1...... reemplazando en (I) tenemos: 11.a+b=10k, y de esto: 11.a+10-a=10k teniendo que 10.a+10=10k osea k=a+1 y como a puede tomar valores 1,2,3,4,5,6,7,8,9 se tiene que k puede ser 2.3.4.5.6.7.8.9.10

veamos ejemplos en los diferentes casos:

k=2 : a=1 ; b=9 ; c=0 ..... 190 es divisible por (1+9+0) pero no de 3

k=3 : a=2 ; b=8 ; c=0 ...... 280 es divisible por (8+2+0) pero no de 3

k=4 : a=3 ; b=7 ; c=0 ...... 380 es divisible por (3+7+0) pero no de 3

k=5 : a=4 ; b=6 ; c=0 ...... 460 es divisible por (4+6+0) pero no de 3

k=6 : a=5 ; b=5 ; c=o ...... 550 es divisible por (5+5+0) pero no de 3, pero tiene dos cifras que se repiten

k=7 : a=6 ; b=4 ; c=0 ...... 640 es divisible por (6+4+0) pero no de 3

k=8 : a=7 ; b=3 ; c=0 ...... 730 es divisible por (7+3+0) pero no de 3

k=9 : a=8 ; b=2 ;c=0 ....... 820 es divisible por (8+2+0) pero no de 3

k=10 : a=9 ; b=1 ; c=0 ....... 910 es divisible por (9+1+0) pero no de 3

la idea es analiazar bien k=6 ya que con c=0 no cumple pero no kiere decir que no pueda cumplirse con otro valor de c distinto de 0

veamos que pasaría si c es diferente de 0, entonces en 11.a+b=(a+b+c).6 tenemos que: 5.a=5.b+6.c lo cual
5.(a-b)=6.c entonces c es múltiplo de 5, osea c=5.n para algún n entero positivo, lo cual se tiene que a-b=6n y en este caso como n no puede ser 0 solo cumple con n=1 ya que si es mayor que 1 no satisface ya que a es menor o igual a 9: siguiente con este caso tenemos que a-b=6 un caso particular es a=6 ; b=o ; c=5 veeamos reemplazando

605 es divisible por (6+0+5) pero no de 3 y ahi tenemos que k=6 si satisface

probamos antes que k no puede pasar de 11, y que k es mayor o igual a 1, pero con estos dos casos : k=1 y k=11 no encontramos valores para a.b.c distintos qiue la cumplan

asi que la respuesta es 9 valores para m ya que k también toma 9 valores..... y m es lo que buscamos ya que es N/(a+b+c)
Volver arriba Ir abajo
Ver perfil de usuario
johncuya
Admin
avatar

Mensajes : 321
Fecha de inscripción : 10/07/2011
Edad : 30

MensajeTema: Re: Problema 7   Lun Oct 31, 2011 4:42 pm

Gracias por tu solución, es muy didáctica,

hasta luego.
Volver arriba Ir abajo
Ver perfil de usuario http://olimpiadasperu.foroperu.org
Juan Benal



Mensajes : 25
Fecha de inscripción : 02/11/2011

MensajeTema: Re: Problema 7   Mar Nov 08, 2011 5:16 pm

Emerson Soriano escribió:
probamos antes que k no puede pasar de 11, y que k es mayor o igual a 1, pero con estos dos casos : k=1 y k=11 no encontramos valores para a.b.c distintos qiue la cumplan

Esta parte de probar que para k=1 y k=11 no existen numeros tales es muy importante en la solucion y no debe dejarse de lado .

Por otro lado detallar como se consigue los numeros para k=2,3,....,10 es bonito pero en una solucion bastaria solo con mencionarlos y asegurar asi que el m=9k+1 cumple .

Resumiendo : En la solucion se detalla cosas innecesarias y se obvia lo que realmente deberia de detallarse .

Tener en cuenta esto .


Volver arriba Ir abajo
Ver perfil de usuario
Contenido patrocinado




MensajeTema: Re: Problema 7   

Volver arriba Ir abajo
 

Problema 7

Ver el tema anterior Ver el tema siguiente Volver arriba 
Página 1 de 1.

 Temas similares

-
» Descubrir el problema
» problema de piel
» Problema con padres y estudio
» El enfoque en la solución y no en el problema
» como ayudar a alguien que no reconoce el problema

Permisos de este foro:No puedes responder a temas en este foro.
Olimpiadas Matemáticas en el Perú :: ONEM :: ONEM 2011 :: Tercera fase :: Nivel 3-