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 los cuadrados perfectos de la forma n!

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Emerson Soriano



Mensajes : 55
Fecha de inscripción : 26/10/2011
Edad : 29

MensajeTema: los cuadrados perfectos de la forma n!   Sáb Oct 29, 2011 7:28 pm

Hola amigos peruanos Very Happy les comparto un problemita:


Encontrar todos los enteros no negativos n, tales que n! es un cuadrado perfecto
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Emerson Soriano



Mensajes : 55
Fecha de inscripción : 26/10/2011
Edad : 29

MensajeTema: Re: los cuadrados perfectos de la forma n!   Jue Nov 10, 2011 12:14 pm

bueno aquí les muestro mi solución a este problema....

sabemos muy bien que los valores de n que cumplen a simple vista es 0 y 1

la idea es saber si existen naturales mayores que 1 que cumplan que n! es un cuadrado perfecto.... supongamos que sea cierto, entonces n es mayor o igual a 3 ya que a simple vista 2! no es un cuadrado perfecto...

sea p el mayor número primo menor que n, entonces definitivamente n! es múltiplo de p... la pregunta es ¿n! será múltiplo de p2?

vemos que el próximo múltiplo de p es 2p, pero la idea es averiguar si 2p es menor o igual que n, o es mayor que n....

si 2p fuera menor o igual a n entonces por el teorema de bertrand sabemos que entre p y 2p existe almenos un número primo, llamemos q a dicho primo... q sería mayor que p lo cual contradice la maximilidad de p... por lo que tenemos que 2p es mayor que n entonces solo existe un múltiplo de p entre 1 y n lo cual nunca n! sería múltiplo de p2... y de esto concluimos que n! nunca será cuadrado perfecto para todo n mayor o igual a 2
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