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 Problema 1

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Emerson Soriano



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MensajeTema: Problema 1   Sáb Oct 29, 2011 8:57 am

Sean a,b,c y d cuatro números enteros cuya suma es cero. Definimos

M=(bc-ac)(ac-bd)(ab-cd)

Demuestre que existe un número entero p, tal que M=P2
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Emerson Soriano



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Fecha de inscripción : 26/10/2011
Edad : 29

MensajeTema: Re: Problema 1   Sáb Oct 29, 2011 9:04 am

Hola amigos como están, esta es mi solución a este problema:


bc-ad=bc+a(-d)=bc+a(a+b+c)=a2+ab+ac+bc=a2+a(b+c)+bc=(a+b)(a+c)

lo mismo para los otros dos factores:

(ac-bd)=(a+b)(b+c)

(ab-cd)=(a+c)(b+c)

entonces reemplazando en M, sería:M=(a+b)(a+c)(a+b)(b+c)(a+c)(b+c)

lo cual sería: M=(a+b)2.(a+c)2.(b+c)2

basta con tomar P=(a+b)(b+c)(a+c) y cumple las condiciones, ya que P es el producto de tres factores que esta conformado por suma de enteros, por lo tanto P es entero....
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johncuya
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MensajeTema: Re: Problema 1   Sáb Oct 29, 2011 9:43 am

Gracias por tu soluciòn,

Algo que interesante sobre este problema es que en Brasil tambièn lo propusieron en su olimpada nacional (copiones) pero tambièn pedìan la recíproca,

Es decir: Si M es un cuadrado perfecto, demostrar que existen cuatro enteros a, b, c, d con suma 0 tales que M = (bc-ac)(ac-bd)(ab-cd).

¿Còmo resolverìan esta parte?

Hasta luego.
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Emerson Soriano



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MensajeTema: Re: Problema 1   Lun Oct 31, 2011 10:02 am

Estimados amigos como están, tengo un pequeño problemita con lo reciproco del problema

si M es un primo al cuadrado ¿cumple que existen cuatro números tales que la suma sea cero y cumpla lo que menciona el problema?

si fuera asi M2 = (a+b)2(b+c)2(a+c)2

entonces como M es un primo p, entonces p=(a+b)(b+c)(a+c) o p=-(a+b)(b+c)(a+c)

pero en ningún caso encuentro valores a,b,c que satisfagan:



para p = (a+b)(b+c)(a+c) se cumpliria que uno de esos factores sin perdida de generalidad :

si (a+b)=p entonces (b+c)=1 y (a+c)=1 o (b+c)=-1 y (a+c)=-1

...si b+c=a+c=1 entonces b=a entonces a+b=2a=p lo cual solo cumple para p=2

...Si b+c=1 y a+c=-1 cumpliría que b-a=2 y como a+b=p entonces b=(p+2)/2 lo cual también solo cumple para p=2




si p=-(a+b)(b+c)(a+c) el procedimiento es similar, asi que mi pregunta es ¿ y para los primos impares que valores satisfacen?



explicando de otra manera si M es un primo al cuadrado entonces dicho primo es el producto de tres enteros con las formas

(a+b)(b+c)(a+c) o -(a+b)(b+c)(a+c) entonces al sumar stos factores siempre se tiene un número par, pero como p es un número primo y en particular supongamos que sea impar, entonces al buscar tres factores en p serían p ; 1; 1 en combinación de signos para algunos..... entonces la suma de p;1;1 con sus respectivos signos a su conveniencia daría un número impar lo cual no cumple.........
Si (a+b)=-p sucede parecido y solo cumple con p=2 o p=-2





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Emerson Soriano



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MensajeTema: Re: Problema 1   Vie Nov 04, 2011 10:54 am

Hola amigo cuya, el razonamiento que use en este ultimo que dejaste esta bien o si sale para todo cuadrado perfecto?
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johncuya
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Edad : 30

MensajeTema: Re: Problema 1   Vie Nov 04, 2011 8:33 pm

Por fin encontré el problema que hago mención, y ns es así como lo mencioné, me equivoqué tontamente, aquí coloco el problema (es de un entrenamiento de Brasil para la Cono Sur):

Sean a, b, c, d enteros con suma 0. Encontrar todos los números que se pueden escribir de la forma (bc - ad)(ac - bd)(ab - cd).

Como ya menciono Emerson los cuadrados de los primos impares no se pueden expresar así,

hasta luego.
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Juan Benal



Mensajes : 25
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MensajeTema: Re: Problema 1   Mar Nov 08, 2011 1:03 am

(bc - ad)(ac - bd)(ab - cd) es igual a (a+b)2(b+c)2(c+a)2 =M2 . Entonces Si M fuese impar tendriamos que a+b,b+c,c+a son impares y con ello la suma de tres impares : (a+b)+(b+c)+(c+a) es impar pero (a+b)+(b+c)+(c+a)=2(a+b+c) es par . Absurdo . entonces M debe de ser par .

Si M = 2n podemos hacer a=b=n , c=1-n , d=-1-n . entonces los numeros que se pueden expresar son todos los cuadrados perfectos pares .
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