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 Problema 9

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johncuya
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Mensajes : 321
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MensajeTema: Problema 9   Vie Oct 28, 2011 11:30 am

Problema 9
Sean A y B dos números de tres dígitos cada uno, de tal forma que los 6 dígitos usados son diferentes entre sí. ¿Cuál es el mayor valor que puede tomar el máximo común divisor de A y B?
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Emerson Soriano



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Edad : 29

MensajeTema: Re: Problema 9   Sáb Oct 29, 2011 3:20 pm

Hola a todos, esta es mi solución a este problema

se quiere el máximo común divisor de estos números a quién le llamaremos D, es posible que este número tenga tres dígitos y eso puede ocurrir en algunos casos cuando uno es múltiplo del otro, entonces veamos si encontramos lo que queremos razonando de esta manera

busquemos dos números de tres cifras de tal manera que uno sea múltiplo de otro y además que cumplan las condiciones del problema

entonces sea D el número que a la vez sea el máximo comun divisor de D y H (también es un número de tres dígitos)

entonces D < 500 ya que H es mayor o igual a 2x500 lo cual contradice, entonces buscacndo el mayor valor posible de D, tratemos

que ver si es de la forma 49m pero si asi fuera entonces H seria mayor o igual a 2x490=980 y esto indica que H tiene el dígito 9 en

su escritura lo cual es contradictorio por lo que D ya lo tiene...... entonces D podría ser de la forma 48r, entonces analizando dos casos sería:

si r es menor o igual a 4, el número H sería de la forma 96(2r), pero r no puede ser 4 ya que se repite en D, r tampoco puede ser 3

ya que (2r) sería 6 y ya se repite en H, r tampoco puede ser 2 ya que 2r es 4 y se repite en D, si r=1 si cumple las condiciones, y

con r=0 definitivamente no cumple ya que el cero aparecería en D y H

por otro lado, si res mayor o igual a 5, entonces 2r=10+m donde m es un entero no negativo menor que 10, entonces

2x48r = 97m vemos que r no puede ser 9, 8 o 7 ya que se repiten, entonces veamos si r=6 entonces m=2 y vemos que cumple

las condiciones entonces este número es el mayor encontrado


obs: la expresión xyz significa númeral de tres cifras, no se como hacer para que salga una linea que simboliza númeral, si en caso se puede haber, me ayudan Very Happy

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Juan Benal



Mensajes : 25
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MensajeTema: Re: Problema 9   Vie Nov 04, 2011 7:59 pm

Emerson Soriano escribió:

Entonces D podría ser de la forma 48r, entonces analizando dos casos sería:

si r es menor o igual a 4, el número H sería de la forma 96(2r), pero r no puede ser 4 ya que se repite en D, r tampoco puede ser 3

ya que (2r) sería 6 y ya se repite en H, r tampoco puede ser 2 ya que 2r es 4 y se repite en D, si r=1 si cumple las condiciones, y

con r=0 definitivamente no cumple ya que el cero aparecería en D y H


El caso r<5 esta de mas pues r=6 maximiza por tanto solo sirve descartar r=7,8,9 asi como lo hicistes .

Por otro lado si los numeros no fuesen uno multiplo del otro ¿cual seria el procedimiento? .
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johncuya
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Mensajes : 321
Fecha de inscripción : 10/07/2011
Edad : 30

MensajeTema: Re: Problema 9   Vie Nov 04, 2011 8:28 pm

Buena observación,

Creo que se debió trabajar directamente con el D = MCD(A,B) (sin considerar que uno es múltiplo del otro), así si D es mayor o igual a 500, entonces uno de A o B es mayor o igal que 1000, y así con los demás casos.

Hasta luego.
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Emerson Soriano



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Edad : 29

MensajeTema: Re: Problema 9   Sáb Nov 05, 2011 4:41 pm

si creo que falto ver ese pequeño detalle de que pasaría si uno no fuera múltiplo del otro.

se tendría que A=d.m y B=d.n donde d es el mcd(A,B) y m,n son enteros positivos diferentes y diferentes de 1 lo cual implica que si m < n (sin perdida de generalidad) entonces m es mayor o igual a 2 y n es mayor o igual a 3, lo que nos hace pensar que si d es mayor o igual a 486 entonces entonces B ya no sería de 3 cifras, por lo tanto el mcd (A,B)=d < 486 y este caso nos aclara que el d máximo es 486
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