Olimpiadas Matemáticas en el Perú
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 Problema 8

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AutorMensaje
johncuya
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Mensajes : 321
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MensajeTema: Problema 8   Vie Oct 28, 2011 11:29 am

Problema 8

Se sabe que hay 7! formas de reordenar los dígitos del número 1234567 , se escribe cada una de estas formas en la primera columna de un tablero de 5040 filas y 2 columnas (5040 = 7!). Luego, para escribir números en las 5040 filas de la segunda columna se sigue la siguiente regla para cada fila, si en la primera columna aparece un numero de la forma ABCDEFG entonces en la segunda columna se escribe el resultado de calcular la suma ABC + EFG.
Por ejemplo, a la derecha de 1234567 se escribe 123 + 567 = 690 y la derecha de 1234576 se escribe 123 + 576 = 699, etc.
¿Cuántos números de la segunda columna son pares?
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Jamie Carpio



Mensajes : 6
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Edad : 20
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MensajeTema: Re: Problema 8   Jue Feb 09, 2012 5:18 pm

Bueno, para obtener un número par en la segunda columna, debemos darnos cuenta que esto depende de los valores que puedan que puedan asumir C y G ya que si esos numeros suman par, hallaremos dicha cantidad de numeros pares.
Para que C + G = Par, se tendría 2 casos:
-Cuando C y G son pares.
C y G pueden tomar valores de 2,4,6. Por lo que habrían 6 formas de combinar dichos numeros [(2,4)(2,6)(4,2)(4,6)(6,2)(6,4)]
-Cuando C y G son impares.
C y G puden tomar valores de 1,3,5,7. Po lo que habrían 12 formas de combinar dichos numeros [(1,3)(1,5)(1,7)(3,1)(3,5)(3,7)(5,1)(5,3)(5,7)(7,1)(7,3)(7,5)]
En total habría 18 formas de ordenar dichos elementos.

Ahora ya que de C y G depende el problema los demas pueden asumir cualquer valor.
Así que aremos una permutación de 7 con 2 elementos fijos.
--> (7-2)! = 120
Habría 120 casos y como exite 18 formas de mezaclar C y G obtendremos que el total de numeros pares de la segunda columna es
120 x 18 = 2160.
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