Olimpiadas Matemáticas en el Perú
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 Problema 7

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AutorMensaje
johncuya
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Mensajes : 321
Fecha de inscripción : 10/07/2011
Edad : 30

MensajeTema: Problema 7   Vie Oct 28, 2011 11:29 am

Problema 7
El conjunto T está formado por cuatro enteros positivos distintos cuya suma es igual a k. El conjunto T cumple las siguientes propiedades :
  • Siempre que sumemos tres elementos distintos de T el resultado es un número primo.
  • El número K es multiplo de 3.
Hallar el menor valor posible de K.
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Beltràn Caza



Mensajes : 3
Fecha de inscripción : 04/11/2011
Localización : Juliaca

MensajeTema: solucion   Vie Ene 13, 2012 11:33 am

Sea T = {a,b,c,d} tal que a,b,c y d positivos distintos ( a≠b≠c≠d)
Se conoce: a+b+c+d = K ; k = 3n ; n Є Z+ → a+b+c+d = 3n
Entonces debe cumplir las siguientes propiedades: “tres elementos distintos de T el resultado es un nùmero primo”, formamos grupos de 3 de 4 elementos de T y son:
.....> a + b + c= p1
......> b + c + d= p2 donde p1 , p2, p3 y p4 son primos
......> c + d + a = p3 se sabe : (a+b+c)min= 6 → p1 , p2, p3 y p4 > 6
......> d + b + a = p4 cada terna la suma será distinto :p1≠ p2,≠p3 ≠ p4
-----------------------------
+MAM: 3a +3b+3c+3d = p1 + p2 + p3 + p4
. ( a + b + c + d) = p1 +p2+ p3 + p4
3 (3n) = p1 +p2+ p3 + p4
9n = p1 +p2+ p3 + p4
Solo bastará analizar los valores que puede tomar n y tiene que ser el mínimo, luego de lo anterior los primos todo son mayores que 6 y diferentes entre sí, esto implica que todo son impares entonces las suma de los cuatro primos siempre será un número par, en consecuencia “n” debe tomar valores pares:
Probando valores mínimos para p1 , p2, p3 y p4Є{7,11,13,17,19,…}: con p1 ≠ p2,≠p3 ≠ p4
Si n =2 → p1 +p2+ p3 + p4 = 9×2 ↔ p1 +p2+ p3 + p4 = 18 no cumple

Si n =4 → p1 +p2+ p3 + p4 = 9×4 ↔ p1 +p2+ p3 + p4 = 36 no cumple

Si n=6 → p1 +p2+ p3 + p4 = 9×6 ↔ p1 +p2+ p3 + p4 = 54 no cumple
Si n = 8→ p1 +p2+ p3 + p4 = 9×8↔ p1 +p2+ p3 + p4 = 72
....................................................... 7 11 13 41 ×
....................................................... 11 13 17 31 ×
....................................................... 13 17 19 23 √ cumple
Comprobando: a+b+c= 13; b+c+d=17; c+d+a=!9; d+b+a=23 ,resolviendo a=7; b=5; c=1 y d=11
Los resultados obtenido son positivos distintos, cumple la hipótesis del problema
Luego : Nmin= 8 → Kmin= 3×8 = 24 respuesta
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