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 Problema 6

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johncuya
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Mensajes : 321
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MensajeTema: Problema 6   Vie Oct 28, 2011 11:28 am

Problema 6
Sea M el menor entero positivo que es múltiplo de 20 y tiene suma de dígitos igual a 11. Sea N el menor entero positivo que es múltiplo de 11 y que tiene suma de dígitos igual a 20. Halla M + N.
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Jamie Carpio



Mensajes : 6
Fecha de inscripción : 07/02/2012
Edad : 20
Localización : Arequipa

MensajeTema: Re: Problema 6   Mar Feb 07, 2012 7:39 pm

*Los valores de ab, abc , abcd indican numerales

Primero analizaremos los valores de M y N
Para M:
-Si M=ab, para que sea múltiplo de 20, este numero debe terminar en 0, por lo que el valor de a≥9; lo que no es posible.
-Si M=abc, para que se múltiplo de 20, este número debe terminar en 0 y además ser múltiplo de 4; entonces nos quedaría el número de la forma ab0, y b asumiría valores de 2,4,6,8( no asume 0 ya que a≥9 y esto no se da) y los valores respectivos para a serían 9,7,5,3; como piden el menor M tenemos que tomar el menor valor para a=3, entonces b=8.
El menor M=380

Para N:
-Si N=ab, no cumple ya que la máxima suma de cifras es 18 y el problema dice que la suma de cifras es 20
-Si N=abc, aplicando el criterio de divisibilidad por 11 obtendríamos a+c-b=11k ( donde k asume cualquier valor)
Además la suma de cifras es 20 --> a+b+c=20
Ahora realizando el sistema:
a + c - b = 11k
-(a+b+c)=-20
-2b=11k/2-20
b=10-11k, por lo que el mínimo valor positivo que puede asumir b es 10; entonces no existiría este caso.
-Si N=abcd, de la misma forma aplicamos el criterio de divisibilidad por 11 : b+d-a-c=11k y a+b+c+d=20
Resolviendo el sistema:
-(-a+b-c-+d=11k)
a+b+c+d=20
2a+2c=11k/2+20
a+c=11k+10
Para que a+c sea mínimo k=0, por lo que a+c=10, ahora ya que nos piden que N debe ser mínimo, a por ser la cifra del comienzo debe ser la menor, por eso a=1 y c=9; reemplazando en a+b+c+d=20 obtendríamos:
b+d=10, donde b debe ser lo menor posible b=1 ( b no es 0 porque d sería 10) y entonces d=9
El menor N es 1199
La respuesta de M+N = 380 + 1199 = 1579.
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