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 problema de polinomios en conamat 2002

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Emerson Soriano



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MensajeTema: problema de polinomios en conamat 2002   Jue Oct 27, 2011 9:10 pm

Hola amigos, este es un ejercicio que vÍ en el libro de la conamat 2002, en el examen final de 2do año.... y a ser sincero, la solución que hacen es poco creible a mi criterio, quisás yo este mal, espero sus opiniones ahi les va:

¿Cuantos polinomios con coeficientes reales existen tales que

P(x2+1)=[p(x)]2+1 para todo x ϵ IR
?
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Emerson Soriano



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MensajeTema: tengo un problema   Vie Oct 28, 2011 10:16 am

amigos como están, ayer copié con facilidad lo que escribí, lo hice en work y copié lo que escribí, y ahora no se puede, que puedo hacer? como escribir las formulas de elevado al cuadrado, el sub indice, etc......
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johncuya
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MensajeTema: Re: problema de polinomios en conamat 2002   Vie Oct 28, 2011 11:11 am

Hola,

los comandos de el subìndice y superíndice se pueden encontrar en otros

hasta luego.
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Emerson Soriano



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MensajeTema: Re: problema de polinomios en conamat 2002   Vie Oct 28, 2011 2:07 pm

en el libro de conamat 2002 hay una parte en la que lo solucionan asi:

como el número de terminos del polinomio es n+1 y el´número de términos del segundo polinomio es n(n+1)/2 + 1 ....

igualando ya que por ser polinomios tienen el mismo número de terminos sale n=0 o n=1 siendo n el grado de P,

pero por ejemplo si tuviera x2+x+x+1 =x2+2x+1 ..... ahi no podría decir lo mismo ya que veo que en el

1er miembro tengo 4 sumandos y en el 2do miembro tengo 3 sumando, pero reduciendo ambos casos se tienen 3 términos

en el ejercicio también sucede lo mismo, quien lo solucionó confundió el número de sumandos con el número de términos....

bueno eso es a mi parecer, ojala alguién me diga si estoy bien o estoy mal..... gracias saludos
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Emerson Soriano



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MensajeTema: Re: problema de polinomios en conamat 2002   Vie Oct 28, 2011 2:19 pm

bueno esta es la solución que le doy al ejercicio:

P(x) no puede ser un polinomio constante ya que si lo fuera (p(x)=a real) se cumpliría que a=a+1 lo cual contradice

entonces p(x) es un polinomio con grado mayor o igual a 1, y de esto tenemos:

cuando x=0 se tiene que p(1)=1

cuando x=1 se tiene que p(2)=2

cuando x=2 se tiene que p(5)=5

y asi sucesivamente se tiene que si M es el conjunto de los naturales (incluido el cero) que son puntos fijos del polinomio,

entonces M es un conjunto infinito, ya que si encontramos un k natural que es fijo mediante P, osea p(k)=k, a partir de él

encontramos un número fijo mayor que k, veamos :

p(k2+1)=p2(k)+1=k2+1, asi tenemos que k2+1 también es fijo

asi probamos que M es un conjunto infinito

por otro lado como p(0)=0 entonces p(x)=x.Q(x) donde Q(x) es un polinomio, entonces si m pertenece a M se cumple que:

p(m)=m.Q(m) ..... lo cual indica que Q(m)=1 y esto cumple para cada elemento del conjunto infinito M

si formamos el polinomio: H(x)=Q(x)-1 ..... vemos que todos los infinitos elementos de M son raíces del polinomio H(x),

lo que implica que H(x)=0 (polinomio nulo).... lo cual se cumple que Q(x)=1 ..... y por eso P(x)=x para todo x real



obs: le llamo número fijo a los reales que no varían cuando son evaluados por P, por ejemplo

Si p(n)=n entonces n es un número fijo
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johncuya
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MensajeTema: Re: problema de polinomios en conamat 2002   Vie Oct 28, 2011 11:09 pm

Hola,

Por ahora no puedo juzgar nada pues no he visto el libro que mencionan, sin embargo, son correctos los puntos que señalas: Efectivamente la cantidad de términos (distintos) de dos polinómios idénticos son iguales, pero si se conoce la cantidad de términos de P(x), no se puede saber con certeza la cantidad de términos de P(x)2.
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Tipe

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MensajeTema: Re: problema de polinomios en conamat 2002   Vie Oct 28, 2011 11:49 pm

Es común encontrar soluciones mal hechas en los libros de Conamat. Muchas veces incluyen problemas de olimpiadas y escriben cualquier cosa en la solución. Incluso he visto problemas de IMO antiguas en la Conamat.
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Juan Benal



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MensajeTema: Re: problema de polinomios en conamat 2002   Miér Nov 02, 2011 4:48 pm

Emerson Soriano escribió:

¿Cuantos polinomios con coeficientes reales existen tales que
P(x2+1)=[p(x)]2+1 para todo x ϵ IR
?

Emerson alli no especificas que p(0)=0 , pues si fuese P(0)=1 la respuesta seria P(x)=x2+1 y la solucion seria similar a la que pusistes .
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Emerson Soriano



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MensajeTema: Re: problema de polinomios en conamat 2002   Miér Nov 02, 2011 9:28 pm

si disculpen, olvide colocar ese dato.... en realidad ese dato si es del problema, de lo contrario el razonamiento que use no servirìa de mucho
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johncuya
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MensajeTema: Re: problema de polinomios en conamat 2002   Vie Nov 04, 2011 9:52 am

Gracias por las aclaraciones nuevamente, efectivamente para que la solución sea correcta se necesita P(0) = 0.

Por otro lado la ecuación polinomial P(x2 + 1) = P(x)2 + 1 tiene una solución general (como una composición de polinomios T) P = ToTo...oT, donde T = x2 + 1.
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MensajeTema: Re: problema de polinomios en conamat 2002   

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