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 12 progresiones geométricas

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johncuya
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MensajeTema: 12 progresiones geométricas   Jue Oct 27, 2011 7:10 am

¿Podemos encontrar doce progresiones geométricas cuya unión incluya a todos los números del conjunto {1, 2, 3,..., 100}?
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Emerson Soriano



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MensajeTema: Re: 12 progresiones geométricas   Vie Oct 28, 2011 10:51 am

bueno mi respuesta es no!, ya que trabajando con números primos,...., vemos que hay 28 números primos en el conjunto dado, asi que, si la respuesta fuera afirmativa implicaría que existe una progresión de las 12 que tiene almenos 3 números primos en ella, veamos

si p < q < d son números primos de una progresión geométrica de razón r distinta de cero, entonces sin perdida de generalidad

tomamos r mayor que 1 (ya que la progresión también podría ser decreciente y el procedimiento a seguir es el mismo)....


sean a < b < c sus posiciones respectivamente

entonces p=m.ra-1 ; q=m.rb-1 ; d=m.rc-1 siendo m el primer término, entonces

despejando tenemos que (q/r)=rb-a ; (d/q)=rc-b ; (d/p)=rc-a despejando y

eliminando r en las dos primeras tenemos : (q/p)c-b = (d/q)b-a por lo tanto:

qc-a=pc-b . db-a y como a,b,c son enteros positivos por ser posiciones, y además

c-a, c-b y b-a

también son enteros positivos, se tienen que p y d son divisores de qc-a pero los tres son números primos lo cual

indica que p=q=d lo cual es una contradicción

por lo tanto no existen 12 progresiones geométricas que la cumplen
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Juan Benal



Mensajes : 25
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MensajeTema: Re: 12 progresiones geométricas   Jue Nov 03, 2011 1:24 pm

Emerson Soriano escribió:
bueno mi respuesta es no!, ya que trabajando con números primos,...., vemos que hay 28 números primos en el conjunto dado

Contando los numeros primos del 1 al 100 : 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,39,41,43,47,53,59,61,67,69,71,73,79,83,89,97 vemos que hay solo 25 de ellos y no 28 . De igual forma siempre habran tres de ellos en una misma progresion .
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Emerson Soriano



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Edad : 29

MensajeTema: Re: 12 progresiones geométricas   Jue Nov 03, 2011 8:25 pm

Si me equivoque, disculpen... A 39 y 69 no son primos

Contare de nuevo creo que nos estamos quinceando...

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97

Con lo que se tiene que efectivamente hay 25 números primos y por el principio de las casillas se tiene que almenos una progresión tiene almenos 3 números primos
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johncuya
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MensajeTema: Re: 12 progresiones geométricas   Vie Nov 04, 2011 9:48 am

Gracias por las aclaraciones no me habìa dado cuenta,.

hasta luego.
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