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 Problema 3

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johncuya
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Mensajes : 321
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MensajeTema: Problema 3   Jue Oct 27, 2011 1:25 am


Considera A, B y C tres puntos colineales del plano tales que B está entre A y C. Sea S la circunferencia de diámetro AB y L una recta que pasa por C, pero no intersecta a S y que no es perpendicular a la recta AC. Los puntos M y N son, respectivamente, los pies de las alturas trasadas desde A y B a la recta L. Desde C se trazan las dos rectas tangentes a S, donde P es el punto de tangencia más cercano a L. Prueba que el cuadrilátero MPBC es inscriptible si y sólo si las rectas MB y AN son perpendiculares.
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johncuya
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MensajeTema: Re: Problema 3   Vie Nov 04, 2011 8:21 pm

A puertas de la final de la ONEM 2011 voy a resolver este problema que fácilmente pudo ser el 4 de este nivel.

(Ida) Si MPBC es cíclico, entonces <PBA = <PMC = x; <BMC = <BPC = <BAP = y. Luego, x+y = 90o, entonces <AMP = x. La prolongación de MP corta a S en el punto D, entonces <BDP = <BAP = x = <PMA, entonces AM y BD son paralelos, por lo cual N, B y D son colineales, además BDA = 90o (pues AB es diámetro), entonces AMND es un rectángulo. Luego, <NAM = <AMD = x = <BMD, de donde AN y MB son perpendiculares.

(Vuelta) Si las rectas MB y AN son perpendiculares, entonces sea X el punto de intersección de MB y AN, luego <ADB = 90o, por lo cual X está en S. Además, <MAN = <BMN = <ANB = x; <AMB = <MNA = NBM = y, donde x + y = 90o y como es claro x < y. Sea w = <PBA; z = <PAB = <BPC, entonces <PCA = w - z.

Luego, sea O el centro de S y OA = OB = OP = R, entonces sen(w - z) = R/(R + BC). Supongamos que MN = 1 (al final se cancela), entonces AM = tg y; NB = tg x, luego AB/BC = 2R / BC = tg y / tg x, entonces podemos hallar R/(R + BC) = (tg y - tg x)/(tg y + tg x) = sen(y - x)/sen(x + y) = sen(y - x), es decir sen(w - z) = sen(y - x), donde 0o < w - z, y - x < 90o, por lo cual w - z = y - x, además w + z = y + x = 90o, de donde w = y; z = x, con lo cual <BPC = <BMC, es decir PMCB es cíclico.
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Problema 3

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