Olimpiadas Matemáticas en el Perú
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 Problema 2

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johncuya
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MensajeTema: Problema 2   Jue Oct 27, 2011 1:03 am

Una progresión aritmética está formada por 9 enteros positivos tales que el producto de estos 9 términos es múltiplo de 3. Prueba que dicho producto es también múltiplo de 81.
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MANUEL OMARB



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MensajeTema: SOLUCION PROBLEMA 2 ONEM2010 CUARTAFSE NIVEL 3   Lun Oct 31, 2011 8:44 am

Sea t1; t1+r; t1+2r;t1+3r;…;t1+8r ……(I) la P.A de razón “r”.
Para que la progresión sea 3° según dato del problema, es fácil darse cuenta que al menos uno de los términos de la P.A es 3°.

Sea k=t1 ; k=t1+r ó k=t1+2r múltiplos de 3 entonces k+3r; k+6r también serán 3°
Por lo tanto como k es 3°, k=3a, k+3r=3a +3r, k+6r=3a+2r que equivale a:
3a; 3(a+r) ; 3(a+2r) …….(II) recordemos también que todo número es de la forma 3°; 3°.+1; 3°+2 ….Ahora tenemos 3 CASOS:

1) caso 1: si a= 3°, entoces la P.A es 81° porque de uno tendríamos 3(3°) ; 3(a+r); 3(a+2r) = 81° y cumpliría para cualquier valor de “r”=3°;3°+1 ó 3°+2.

2) caso2: si a=3°+1 entonces habrá tres subcasos:
2.1) cuando r=3°, entonces de…. (I) tendríamos que todos los términos de la P.A serian 3° en consecuencia la P.A es 81°.de ahora en adelante solo desarrollaremos cuando r=3°+1 y r=3°+2.
2.2) Cuando r=3°+1, entonces se tiene de…. (II) 3(3°+1); 3(3°+1+3°+1); 3(3°+1+2(3°+1)) =
3°; 3°; 3(3°+1+3°+2) =3°; 3°; 3(3°+3°) =3°;3°;3°(3°) =81°
2.3) Cuando r=3°+2, entonces se tiene de…. (II) 3(3°+1); 3(3°+1+3°+2); 3(3°+1+2(3°+2)) =
3°; 3(3°+3°); 3(3°+1+3°+4) = 3°; 3(3°); 3(3°+2) = 3°; 3(3°); 3°=81°

3) caso 3: si a = 3°+2, entonces habría también tres subcasos pero como ya hemos demostrado que para r=3° la P.A es 81°.entonces solo analizaremos los subcasos para r=3°+1 y r=3°.
3.1) cuando r=3°+1, entonces se tiene de…. (II)3(3°+2); 3(3°+2+3°+1);3(3°+2+2(3°+1)) =
3°; 3(3°+3°); 3(3°+2+3°+2) =3°; 3(3°); 3(3°+2+3°+2) =3°;3°(3°);3°=81°
3.2) cuando r=3°+2, entonces se tiene de… (II)3(3°+2); 3(3°+2+3°+2); 3(3°+2+2(3°+2))=
3°; 3(3°+3+1); 3(3°+2+3°+4) =3°; 3°; 3(3°)=81°

DE ESTA MANERA QUEDA DEMOSTRADO QUE UNA P.A. t1; t1+r; t1+2r;t1+3r;…;t1+8r que es 3°es tambien 81°.
Obs… se que el símbolo de múltiplo es una bolita encima del número pero como no la encontré la definición de múltiplo para este problema es n°=múltiplo de n.
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johncuya
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MensajeTema: Re: Problema 2   Lun Oct 31, 2011 5:33 pm

Gracias por tu solución:

Dos detalles:

Al comenzar dices que t1, t2 ó t3 es mùltiplo de 3 (lo cual es cierto) sin darle mayor importancia y creo (a mi criterio) que es la base principal de tu soluciòn, pues lo demàs es analizar los posibles restos.

Sólo bastaba con decir que si uno de t1, t4 ó t7 es múltiplo de 3, entonces t1 es mùltiplo de 3, pues esos tèrminos se diferencian en 3r ò 6r. Similarmente para los otros tèrminos se llega a que uno de t1, t2 ó t3 es mùltiplo de 3

Por otro lado, la cantidad de puntos que te resten depende del jurado que califique ese problema.

Ahora, sobre el símbolo de divisibilidad, serìa mejor trabajar con congruencias: Decimos que a = b (mod n) si y sòlo si a - b es mùltiplo de n. Asì se tendría que t1 = t4 = t7 (mod 3) y podríamos trabajar de manera más elegante.
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MANUEL OMARB



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MensajeTema: Re: Problema 2   Lun Oct 31, 2011 8:29 pm

ok GRACIAS AMIGO JHON CUYA...
¿me estas diciendo que me daran mejor puntaje en LIMA si trabajo con ARITMETICA MODULAR?
TOMARE EN CUENTA TUS CONSEJOS !!!
podrias resolver el problema 3 o 4 de la onem 2010 nivel 3 cuarta fase TU MAS QUE NADIE SABE QUE YA SE acerca la final y seria MARAVILLOSO saber la solucion de todos los problemas antes del viernes que es el dia en que viajamos los de TACNA GRACIAS!!!
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johncuya
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MensajeTema: Re: Problema 2   Lun Oct 31, 2011 10:10 pm

Hola,

No digo que te darían más puntos, sino que es otra opción para presentar una solución que a mi parecer es más sencilla.

Respecto a la prueba del tercer nivel del año pasado, la 3 y 4 fueron realmente difíciles, hasta ahora sigo buscando una solución alternativa a la 4. Trataré de colocar una solución de alguna de ellas.

hasta luego.
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