Olimpiadas Matemáticas en el Perú
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 Problema 2

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johncuya
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MensajeTema: Problema 2   Miér Oct 26, 2011 11:29 pm

Los enteros positivos a < b < c son tales que los números a + b, a + c y b + c son cuadrados perfectos. ¿Cuál es el menor valor que puede tomar c?
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jarmand



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MensajeTema: Problema 2   Miér Nov 02, 2011 1:02 am

30 si es correcto coloco mi procedimiento... Responda si es correcto.

En otra me sale 16 pero solo si a=0,b=9;c=16 pero como dice que a,b y c son enteros positivos no puede ser 0.
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Emerson Soriano



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MensajeTema: Re: Problema 2   Miér Nov 02, 2011 2:48 am

Hola a todos.... Bueno esta es mi solución:

Si a < b < c. Se cumple que a+b < a+c < b+c

Como a+b =x2 ; a+c=y2 ; b+c=z2.

Despejando. a=(x2+y2-z2)\2 ;

b=(x2-y2+z2)\2

C=(-x2+y2+z2)\2

Para algunos enteros positivos x,y,z


Además se sabe que x < y < z Y como c es mínimo, x tiene que ser máximo con y,z mínimos ... Así que mejor acotamos a. y,z. Ya que son los que definen la minimalidad de c por ser los dos mayores entre. x,y,z. Pero como a es entero y positivo se cumple que

X2+y2 > z2. Por lo que definitivamente z no puede ser 3,4,5,6 ya que en cada caso la suma de los cuadrados de cualesquiera dos números menores a z no logran pasar al cuadrado de z... Así que z es mayor o igual a 7 el cual se tiene que los únicos números que podemos asociar a x,y es x=5. Y y=6 cuando z toma su mínimo valor que es 7 . Ya que siendo x=4 y aun así tomando “ y” su máximo valor que es 6, al sumar los cuadrados no alcanza a 49. Así que con stos valores tenemos que c= 30



Obs: de los demás casos que son las equivalencias de b y c. Con respecto a las variables. x'y,z no nos preocupamos tanto como la equivalencia de a, ya que en b y c se puede garantizar que son positivos por la desigualdad. x < y < z
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johncuya
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MensajeTema: Re: Problema 2   Miér Nov 02, 2011 4:23 pm

Hola,

jarmand la respuesta es 30, si quieres puedes postear tu solucion,

hasta luego.
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Juan Benal



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MensajeTema: Re: Problema 2   Vie Nov 04, 2011 7:17 pm

Emerson Soriano escribió:


X2+y2 > z2. Por lo que definitivamente z no puede ser 3,4,5,6 ya que en cada caso la suma de los cuadrados de cualesquiera dos números menores a z no logran pasar al cuadrado de z... Así que z es mayor o igual a 7

si z=6 tenemos que x=4 , y=5 hacen que : x2+y2=16+25=41 > z2=36 . Asi que el 6 aun no esta descartado .
Yo lo descartaria asi : Pero como x2+y2 - z2 es divisible por 2 entonces x+y-z es divisible por 2 luego : x=4,y=5,z=6 no cumplen , con ello la pareja x=3,y=5 seria el que maximiza a x2+y2 =9+25=34 < z2=36 .

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Juan Benal



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MensajeTema: Re: Problema 2   Vie Nov 04, 2011 7:23 pm

Emerson Soriano escribió:

Ya que siendo x=4 y aun así tomando “ y” su máximo valor que es 6, al sumar los cuadrados no alcanza a 49.

x2+y2=16+36=52>49 osea si llega a alacanzar a 49 .

yo lo haria asi : Nuevamente como x+y-z es divisible por 2 . x=4,y=6,z=7 no cumplen asi que despues de x=5,y=6 la pareja de (x,y) con menor suma de cuadrados sera : x=4,y=5 entonces x2+y2=16+25=41<49 .


Última edición por Juan Benal catre el Vie Nov 04, 2011 7:38 pm, editado 1 vez
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Juan Benal



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MensajeTema: Re: Problema 2   Vie Nov 04, 2011 7:37 pm

Emerson Soriano escribió:
Así que con estos valores tenemos que c= 30

Efectivamente si z=7 entonces los unicos valores de x e y son 5 y 6 respectivamente luego c=(49+36-25)/2=30 .

Aun asi la solucion no esta completa pues falta la prueba que cualquier otro valor de c es mayor que 30 .

Esta viene asi : Si z es mayor o igual que 8 : como y>x entonces c=(z2+y2-x2)/2>z2/2>=64/2=32>30 .
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Emerson Soriano



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MensajeTema: Re: Problema 2   Vie Nov 04, 2011 10:17 pm

Si bueno falto observar algo que no lo puse por ser obvio para mi, pero creo que es verdad que cada paso se tiene que justificar.... El caso z=6 no cumple ya que los únicos valores para x,y que cumplan que la suma de los cuadrados de ellos pasen al cuadrado de z serán 4 y 5 pero no se podroa ya que si x es par y también tendría que serlo
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Juan Benal



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MensajeTema: Re: Problema 2   Sáb Nov 05, 2011 9:36 am

Emerson Soriano escribió:
Si bueno falto observar algo que no lo puse por ser obvio para mi, pero creo que es verdad que cada paso se tiene que justificar

No creo que haya sido obvio para ti , Alli claramente esta : lo que afirmastes solo cumplia para z=3,4,5 asi que el z=6 no se descartaba . Para el z=6 habia que darle un trato diferente . al igual que la unicidad de la solucion en z=7 . decias que con x=4 y y=6 se pasaba de 49 lo cual no era cierto , y los elegistes a pesar de que 4+6-7 no era par . Osea eso demuestra a mi criterio que no estabas atento al argumento de paridad . Pero bueno tu sabes mas que yo como realmente sucedio .

Saludos .

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Emerson Soriano



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MensajeTema: Re: Problema 2   Sáb Nov 05, 2011 12:59 pm

si juan es probable que halla estado distraido, aveces uno tiene sus ideas claras y se concentra tanto en otro punto que se pasa desapercibido algunas cosas... Very Happy ... gracias por la corrección
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jarmand



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MensajeTema: Re: Problema 2   Mar Nov 08, 2011 5:55 pm

Juan Benal catre escribió:
Emerson Soriano escribió:


X2+y2 > z2. Por lo que definitivamente z no puede ser 3,4,5,6 ya que en cada caso la suma de los cuadrados de cualesquiera dos números menores a z no logran pasar al cuadrado de z... Así que z es mayor o igual a 7

si z=6 tenemos que x=4 , y=5 hacen que : x2+y2=16+25=41 > z2=36 . Asi que el 6 aun no esta descartado .
Yo lo descartaria asi : Pero como x2+y2 - z2 es divisible por 2 entonces x+y-z es divisible por 2 luego : x=4,y=5,z=6 no cumplen , con ello la pareja x=3,y=5 seria el que maximiza a x2+y2 =9+25=34 < z2=36 .


buena solucion
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jarmand



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MensajeTema: Re: Problema 2   Mar Nov 08, 2011 5:57 pm

Emerson Soriano escribió:
Hola a todos.... Bueno esta es mi solución:

Si a < b < c. Se cumple que a+b < a+c < b+c

Como a+b =x2 ; a+c=y2 ; b+c=z2.

Despejando. a=(x2+y2-z2)\2 ;

b=(x2-y2+z2)\2

C=(-x2+y2+z2)\2

Para algunos enteros positivos x,y,z


Además se sabe que x < y < z Y como c es mínimo, x tiene que ser máximo con y,z mínimos ... Así que mejor acotamos a. y,z. Ya que son los que definen la minimalidad de c por ser los dos mayores entre. x,y,z. Pero como a es entero y positivo se cumple que

X2+y2 > z2. Por lo que definitivamente z no puede ser 3,4,5,6 ya que en cada caso la suma de los cuadrados de cualesquiera dos números menores a z no logran pasar al cuadrado de z... Así que z es mayor o igual a 7 el cual se tiene que los únicos números que podemos asociar a x,y es x=5. Y y=6 cuando z toma su mínimo valor que es 7 . Ya que siendo x=4 y aun así tomando “ y” su máximo valor que es 6, al sumar los cuadrados no alcanza a 49. Así que con stos valores tenemos que c= 30



Obs: de los demás casos que son las equivalencias de b y c. Con respecto a las variables. x'y,z no nos preocupamos tanto como la equivalencia de a, ya que en b y c se puede garantizar que son positivos por la desigualdad. x < y < z

Muy buena solucion... y felicitaciones por su pupila que obtuvo puntaje perfecto... usted ya sabe Maria Laura
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